über den ID-ümmungs- Schwerpunkt ebener Carmen. 41 



drei Fufspunkte A,, B,, C, alleraal in irgend einer Geraden liegen." Weil 

 nämlich der Inhalt des Fufspunkten- Dreiecks A^B^C, = o sein mufs. 



2. Der citirte Satz über das regelmäfsige Vieleck ® folgt gleichfalls sehr 

 leicht. Nämlich einmal daraus, dafs alle Winkel desselben und somit auch 



die Coefficienten sin 2^, sin 2B, unter sich gleich sind, so dafs also 



nothwendig der Mittelpunkt des Vielecks zugleich der ihm zugehörige Schwer- 

 punkt S sein mufs. Zweitens daraus, dafs z. ß. allen Eckpunkten A, B, 

 C, .... des gegebenen Vielecks 2}, wenn P in dieselben vei-legt wird, Fufs- 

 punkten -Vielecke V von gleichem Inhalte (und zwar congruente) entspre- 

 chen, so dafs der durch jene Ecken gehende Kreis ein Ortskreis ist und als 

 solcher den Schwerpunkt -S zum Mittelpunkte haben mufs. Ebenso wüi-den 

 den Mitten der Seiten des gegebenen Vielecks 2} congruente Fufspunkten- 

 Vielecke V entsprechen, was zu ähnlichen Schlüssen berechtigte. 



§. xvm. 



Kennt man in Bezug auf ein gegebenes Vieleck 2) die Inhalte der Fufs- 

 punkten -Vielecke T., 7 ,, V„ irgend dreier gegebener Punkte P, P,, P^ und 

 bezeichnet man die Abstände der letzteren yon dem Schwerpunkte S durch 

 s, s^, *2j so hat man folgende Gleichungen (§. XIII. u. §. XVI.): 



r -F,=-^(s"--s',)X(sm2A), 



34. }V —F^=i-{s"-—sl)X{sm2A), 



r, — r\ = ^{s\ — s^X{sin2A). 



Hierdurch werden, wenn man s, s, und s^ als veränderlich, dagegen 

 T^, P',, V ^ und 2;(sin2^) als constant oder die Punkte P, P,, P„ als fest 

 ansieht, drei Gerade X^,, X^, X bestimmt, welche auf den Seiten des Drei- 

 ecks PP ^P^ senkrecht stehen, und einander in dem Punkte 5" schneiden 

 (§. XIII.). Durch je zwei derselben wird also, im Allgemeinen, der Punkt 

 ^ gefunden. 



B. Von den Fufspunkten-Curven. 



g.XIX. 



Das der vorigen Betrachtung zu Grunde liegende gegebene Vieleck 35 

 kann man in der Vorstellung sich so verändern lassen, dafs es irgend einer 

 Curve sich nähert und zuletzt in diese übergeht. Nämlich läfst man die Sei- 

 Pysik.-math. Kl. 1838. F 



