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Ebenso ist: 



sm2ß = /..^(^-^); sm2C = 4.-(p_-Ji); u. s. w. 

 Daher ist z. B. 



sin ZC ft \«' «' / * \7^ 7' /* 



Es kommt nun darauf an, den Werth dieses Verhältnisses (36.) für 

 den Fall zu kennen, wo das zu Grunde gelegte Vieleck ffl in eine Curve 

 übergegangen ist. Da, um zu diesem Falle zu gelangen, die halbe Seite h 

 allmählig kleiner imd zuletzt unendlich klein werden mufs, so nähern sich 

 a, und «, 7, xmd 7 immermehr der Gleichheit bis zuletzt schlechthin «, = «, 

 7, = 7 zu setzen ist; dann aber wird zugleich a] :«' = 1, y\'.y^ = 1, und, 

 weil A gegen a, 7 sehr klein oder unendlich klein, h^a, '.a^ = o und h^y, '. 

 y' = o. Demnach folgt als Grenzwerth des Verhältnisses (36.), d. i. für 

 die Curve 25 : 



37. sin2^:sin2C= 7:a = — :— . 



« 7 



In diesem Falle sind aber die Strahlen a, ß, 7, , wie aus der 



Construction erhellet, die Krümmungsradien der Curve 9} in den Punkten 



A, B, C, (weil nämlich z. B. R der Mittelpunkt und a der Radius 



eines Kreises ist, welcher durch drei aufeinanderfolgende Ecken Z, A, B 

 des Vielecks S3 geht, imd welcher sodann für die Curve ein Krümmungskreis 

 im Punkte A wird). Wir sind somit zu dem folgenden Resultate gelangt: 



„Die Sinus der doppelten Winkel {2A, zB, 2C, ....), welche 

 die Tangenten einer Curve iß in ihren Berührungspunkten mit 

 der letzteren bilden (oder unter welchen die zunächst aufeinan- 

 derfolgenden Tangenten einander schneiden) verhalten sich wie 

 die Krümmungen der Curve in den respectiven Berührungspunk- 

 ten, oder wie die umgekehrten Werthe {—, -^-, ^, . . . .) der zuge- 

 hörigen Krümmungsradien («, /3, 7, ... .)." 



Dieses Resultat kann auch aus folgender Betrachtung geschlossen 

 werden. 



Da der durch A bezeichnete Winkel (Nebenwinkel von ZAB) gleich 

 ist dem Winkel A^RB,, und da dieser durch den Strahl a gehälftet wird, 

 so hat man : 



