über den Krümmungs- Schwerpunkt ebener Curven. 47 



punkt S der gegebenen Curve 2} ist." Und umgekehrt: „Beschreibt 

 man um den Krümmungs-Schwerpunkt i? der gegebenen Curve 

 23 irgend einen Kreis, so entsprechen allen in dieser Kreis- 

 linie liegenden Punkten P Fufspunkten-Curven F von gleichem 

 Inhalte." 



b. „Unter allen Fufspunkten-Curven V in Bezug auf die gege- 

 bene Curve 23 hat diejenige den kleinsten Inhalt v, welche ihrem 

 Krümmungs-Schwerpunkte S entspricht (45.)." 



Um die Inhaltszunahrae der Fufspunkten- Curve T^ eines beliebigen 

 Punktes P, wenn dieser von dem Krümmungs -Schwerpunkte S sich ent- 

 fernt, genauer angeben zu können, mufs die Gröfse -^-s^XismzA), oder das 

 Vieleck t/^ näher bestimmt werden (45.). Da dieses Vieleck, nach (§.XVI.), 

 einem Kreise eingeschrieben ist, dessen Radius = s, und in demselben zwei 

 Umläufe macht, da ferner die Winkel 2A, 2B, 2C, . . . . , welche den Seiten 

 21, 23, S, . • • . desselben als Centriwinkel gegenüberstehen, für den gegen- 

 wärtigen Fall alle unendlich klein sind : so folgt, dafs in diesem Falle auch 



die Seiten 21, 23, S, unendhch klein, und dafs daher der Umfang des 



Vielecks mit der Kreislinie zusammenfällt aber sie zweimal umfafst, so dafs 

 sein Inhalt gerade zweimal die Kreisfläche ausmacht. Demnach ist: 



46. U =■ -i-*^2(sin2^) = 2-!rs^, und 5(sin2^) := Att, 

 und daher (44. u. 45.): 



47. 4(2F-23) = S(a^sin2^) + te*% 

 48. F=t; + 4-7r/. 



Aus der letzten Gleichung schliefst man folgende Sätze : 



c. „Der Inhalt der Fufspunkten-Curve /^'irgend eines Punktes 

 P in Bezug auf die gegebene Curve 23, ist allemal so grofs, als 

 der Inhalt der Fufspunkten-Curve v des Krümmungs-Schwer- 

 punkteSiS'und die halbe Kreisfläche, welche den Abstand* jenes 

 Punktes von diesem zum Radius hat, zusammengenommen." 



Kennt man also in Bezug auf die gegebene Curve 25 den Inhalt der 

 Fufspunkten-Curve v ihres Schwerpunktes S, so kann der Inhalt der Fufs- 

 punkten-Curve 7"' jedes andern Punktes P sogleich gefunden werden, wo- 

 fern nur sein Abstand s von jenem Punkte S bekannt ist. Und umgekehrt : 



