über den KTÜmmungs- Schwerpunht ebener Curven. 49 



das heifst : „Der Inhalt der Fufspunkten-Curve V irgend eines 

 Punktes Pin Bezug aufden gegebenen Kreis ist gleich der Summe 

 dieser Kreisfläche und der halben Kreisfläche, welche den Ab- 

 stand s jenes Punktes vom Mittelpunkt S des gegebenen Krei- 

 ses zum Radius hat." 



Über die Form imd sonstige Eigenschaften der Fufspunkten-Curve 

 7^ mag folgendes angegeben werden, was leicht wahrzunehmen ist. 



Die Curve V berührt den Kreis 33 in den beiden Endpunkten des 

 durch P gehenden Durchmessers den sie zur Symmetralaxe hat, liegt sonst 

 ganz aufserhalb 23, ist auf einen endlichen Raum beschränkt und kehrt in 

 sich zurück. Sie ist vom vierten Grade und P ist ein singulärer Punkt der- 

 selben, nämlich a) ein reeller oder ß) ein imaginärer Doppelpunkt, nach- 

 dem beziehlich P aufserhalb oder innerhalb 23 liegt, oder 7) ein Rückkehr- 

 punkt, wenn P in der Kreislinie 23 selbst liegt. Im Falle (a) schneidet sich 

 die Curve F im Punkte P und bildet zwei Blätter oder Schleifen, wovon 

 die eine die andere sammt dem Kreise 23 umschliefst ; ihr Inhalt besteht aus 

 der Summe beider Blätter, so dafs also der von der kleineren Schleife ein- 

 geschlossene Raum doppelt in Betracht kommt; die durch den Punkt P 

 gehenden Tangenten des Kreises 23 sind zugleich die Normalen der Curve V 

 im nämlichen Punkte, und bestimmen somit den Winkel, unter welchem 

 sich die Curve daselbst schneidet; wenn s" ^ 2r^ , so schneidet die Curve 

 sich unter einem rechten Winkel und auch umgekehrt, und für diesen Fall 

 ist also ihr Inhalt = ctt;-^. In Rücksicht aller drei Fälle sind die verschie- 

 denen Curven T^, wie sich später zeigen wird (g.XXXV.), identisch mit 

 den verschiedenen Epicykloiden, welche entstehen, wenn ein Kreis, dessen 

 Radius = -^r, auf einem ihm gleichen Kreise rollt. So ist namentlich im 

 Falle (y), wo P in der Kreislinie 23 liegt, oder wo s = /•, die Curve 7 die 

 sogenannte Cardioide, und ihr Inhalt ist : 



52. r= ^irr' = 67r(4-r)% 



d.h. „anderthalb mal so grofs als die gegebene Kreisfläche 23", 

 oder 6 mal so grofs als die Kreisfläche, deren Radius = -^r ist, was mit dem 

 bekannten Ausdruck für den Inhalt der Cardioide übereinstimmt. Von den 

 beiden Möndchen, welche in diesem Falle zwischen den Umfangen von 7^ 

 imd 23 liegen, ist jedes := -^tti-^, d. i. ein Viertheil der Kreisfläche 23- Ebenso 

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