50 Steiner 



finden im Falle (/3) allemal zwei gleiche Möndchen zwischen V und 25 statt, 

 wovon jedes = -^"ks^ . — Endlich kann noch bemerkt werden, dafs Punk- 

 ten P, welche gleich weit vom Mittelpunkte S des Kreises 25 entfernt sind, 

 hier nicht nur Fufspunkten - Curven V von gleichem Inhalte, sondern con- 

 gruente, entsprechen. 



ß. Wenn die gegebene Curve 25 eine Ellipse ist. 



Auch bei der Ellipse fällt offenbar der Krümmungs - Schwerpunkt .S 

 mit dem Mittelpunkte zusammen. Es seien a, h die halben Axen der Ellipse 

 xmd s der Abstand ihrer Brennpunkte P,, P, vom Mittelpunkte S. Die 

 Fufspunkten -Curve V ^ des einen oder anderen Brennpunktes ist bekannt- 

 lich ein Kreis, welcher die grofse Axe =: la zum Durchmesser hat, so dafs 



also: 



53. V ^ = Tra", 



woraus zunächst geschlossen wird (g.XXII.) : 



„Nimmt man in der Kreislinie, welche mit der Ellipse 25 

 concentrisch ist und durch ihre Brennpunkte geht, irgend einen 

 Punkt P, an, so ist der Inhalt seiner Fufspunkten-Curve P , in 

 Bezug auf die Ellipse, allemal gleich derjenigen Kreisfläche, 

 welche die grofse Axe der Ellipse zum Durchmesser hat." 



Nun kann ferner der Inhalt jeder anderen Fufspunkten - Curve gefun- 

 den werden. Nämlich für die Fufspunkten-Curve v des Mittelpunktes S 

 hat man, da s', = a' — b% (§.XXII, 48.): 



54. i;= F, — -fTT^ = 4-7r(a'-hÄ^) = 7rg-^ 

 das heifst : 



„Der Inhalt der Fufspunkten-Curve v des Mittelpunktes 

 der Ellipse in Bezug aufdieselbe ist halb so grofs, als dieSumme 

 der beiden Kreisflächen, welche die Axen (za, 2b) der Ellipse zu 

 Durchmessern haben; oder ist gleich derjenigen Kreisfläche, 

 welche einen der beiden gleichen conjugirten Durchmesser (2g) 

 der Ellipse zum Durchmesser hat." 



Die Curve v berührt die Ellipse 25 in den vier Scheiteln ihrer Axen, 

 aufserdem liegt sie jenseits derselben, so dafs zwischen beiden Curven vier 

 Möndchen entstehen, welche nothwendig einander gleich sind. Der Inhalt 

 eines jeden sei = in, so hat man, da der Inhalt der Ellipse = Trab : 



