über den Krümmwigs-Schwerpunld ebener Curven. 51 



55. 4?« = 4-^(a* + 5^) — irab =z -^■77{a — by, und m = -J-7r(a — b)" , 



d. h. : die Summe der vier Möndchen ist gleich der halben Kreis- 

 fläche, welche die Differenz beider Axen der Ellipse zum Durch- 

 messer hat; und jedes einzelne ist dem achten Theile dieser 

 Kreisfläche gleich." 



Für den Inhalt der Fufspunkten-Curve 7^ jedes beliebigen Punktes 

 P ergiebt sich nun aus (48. u. 54.) der folgende Ausdruck: 



56. F=4-7r(a^ + Ä^-h«^), 



welcher lehrt: „dafs der Inhalt der Fufspunkten-Curve V eines 

 beliebigen Punktes Pin Bezug auf die gegebene Ellipse 25 gleich 

 ist der halben Summe dreier Kreisflächen, welche beziehlich 

 die halben Axen der Ellipse und den Abstand s ihres Mittelpunk- 

 tes iS von jenem Punkte P zu Radien haben." 



Diese allgemeine Eufspunkten-Curve V der Ellipse S5 hat gewisser- 

 mafsen analoge Form und Eigenschaft, wie die obige beim Kreise {A.), in- 

 sofern nämlich die Verschiedenheit des Kreises und der Ellipse eine solche 

 Vergleichung gestatten. Zum Beispiel: Die Curve F ist auf einen endlichen 

 Raum beschränkt und in sich zurückkehrend; sie liegt aufserhalb der Ellipse 

 35, berührt diese jedoch im Allgemeinen in vier Punkten, (wovon oft nur 

 zwei reell sind, oder in besondern Fällen zwei zusammenfallen). Liegt der 

 Punkt P aufserhalb der Ellipse 9}, so ist er ein reeller Doppel- oder Durch- 

 schnittspunkt der Curve T', die beiden durch ihn gehenden Tangenten der 

 Ellipse sind zugleich die Normalen der Curve T''' in demselben und bestim- 

 men daher den Winkel, unter welchem die Curve sich selbst schneidet. 

 Auch besteht in diesem Falle die Curve V aus zwei Schleifen und ihr Inhalt 

 aus der Summe der beiden Blätter, welche von den Schleifen umschlossen 

 werden. Soll insbesondere die Curve V sich unter einem rechten Winkel 

 schneiden, so ist der Ort des Punktes P derjenige Kreis, welcher zugleich 

 der Ort des Scheitels eines rechten Winkels ist, dessen Schenkel die Ellipse 

 berühren ; also ein mit der Ellipse concentrischer Kreis, dessen Radius s = 

 ya^ -\-b'. Daher ist in diesem Falle der Inhalt der Curve /^^constant, näm- 

 lich (56.) : 



57. r^TTs'' z=7r{a^-^b^), 



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