über den Krümmungs-Schwerpwikt ebener Curven. 53 



wie oben §.XXn. die Curve 33) gegeben; ihre Krümmungs - Schwerpunkte 

 seien ^S", , S^, ...., S^ und der Punkt der mittleren Entfernung dieser n 

 Punkte heifse S (wenn nämlich allen gleiche Coefficienten, = i, beigelegt 

 werden). Ferner mögen die Fufspunkten- Curven des Punktes S in Bezug 

 auf die gegebenen Curven durch r,, v^, ...., f„, und die Fufspnnkten- 

 Curven eines beliebigen Punktes P durch 7^,, T^^, . , . , , V^, so wie dessen 

 Abstand von S durch s bezeichnet werden. So folgt zus dem Bisherigen 

 (§. VII. u. g.XXn, 48.) nachstehende Gleichung: 



60. V^ + V^ + + V„ =zv^+v^^\- +i;„+«.-f7r*% 



oder: 



61. X(r;, = X{v,) + n»^T:s\ 

 Das heifst : 



a. „Sind in einer Ebene n beliebige und beliebig liegende ge- 

 schlossene und überall convexe Curven SS,, S}^, ...., S5„ gegeben, 

 so ist der Ort jedes Punktes P, wenn die Summe der Inhalte der 

 ihm entsprechenden Fufspunkten-Curven T^^, V^^ . . . ., V^ in Be- 

 zug auf jene Curven, constant sein soll, irgend eine Kreislinie, 

 deren Mittelpunkt allemal ein und derselbe feste Punkt S, näm- 

 lich der Schwerpunkt der n Krümmungs-Schwerpunkte S^, S^, 

 . . . . , S^ der gegebenen Curven ist." Und ferner: 



b. „Die dem Schwerpunkte S entsprechende Summe X{v,) ist 

 unter allen die kleinste, oder ein Minimum; sie wird von der 

 irgend einem anderen Punkte P entsprechenden Summe 2(/^,) 

 um 7imal die halbe Kreisfläche übertroffen, welche den Abstand 

 s dieses Punktes von jenem Schwerpunkte zum Radius hat." 



Ahnlicherweise hat man, wenn n beliebige convexe Vielecke 23,, SJ^, 

 . . . . , 2S„ gegeben sind : 



62. F, + F2-^ + F„ = v, + V2 + +v„ + U, + U2-i- — + U„, 



wo die Vielecke f/,, U„, , nach der Art wie oben (g.XVI.) das Vieleck 



U, alle demselben Kreise, dessen Radius = s, eingeschrieben sind, so dafs: 



63. t/, + f/j+....+ Z7„ =4-*'[S(sin2^,)-4-S(sin2v4,)+....+5(sin2^,)]. 



Ebenso finden analoge Formeln statt, wenn die gegebenen Figuren 33,, SJ., 

 . . . . , 33„ theils gewöhnliche Vielecke, theils Curven sind. 



