über den Krümmungs- Schwerpunkt ebener Curven. 55 



Nach (§.Vn.) läfst sich die vorstehende Gleichung in folgende um- 

 wandeln : 



wo a^, b,, c,, .... und * die Strahlen sind, welche einen in Rücksicht des 

 Vielecks 35 bestimmten eigenthümlichen Punkt S mit den Ecken A, B, C, 

 .... desselben und mit dem Punkte P verbinden, (und wobei aufserdem 

 stets die Bedingungsgleichung : 



Aa, cosa+Bb^ cosb + Cc, cosc-*- = o 



statt findet, in welcher o, h, C, die Winkel sind, die der Strahl s mit 



den Strahlen a,, b,, c,, .... bildet, und durch welche eine charakteristi- 

 sche Eigenschaft des Punktes S ausgedrückt wird (§. VI.)). 

 Wird bemerkt, dafs (§.XVI, 30.): 



66. X(A) = A + B+C+ = 27r 



und daher: 



67. i-s'XiA) = 7rs' 

 so folgt (65.) : 



68. Fr=fß + i-X{al.A) + Ts', 



und daher für die von dem Punkte S beschriebene Figur w, für welchen 



* = o ist : 



69. w = ?8-h-^X{a'r-4), 



woraus endlich folgt (68.): 



70. Pr= W + TTS'. 



Aus allem zusammen folgt der nachstehende Satz : 

 a. „Rollt ein beliebiges convexes Vieleck 33 in einer Ebene auf einer 

 festen Geraden G bis es sich ganz umgedreht hat, so beschreibt jeder mit 

 demselben fest verbunden gedachte Punkt P irgend eine Figur TV, deren 

 Inhalt ein Minimum = w wird, wenn der beschreibende Punkt der Schwer- 

 punkt S der Ecken des gegebenen Vielecks 35 ist, wofern nämlich diesen 

 Ecken die anliegenden Nebenwinkel (der Vieleckswinkel) als Coefficienten 

 zugeordnet sind. b. Je ein System von Punkten P, welche gleich weit vom 

 Schwerpunkte S entfernt sind, die also in irgend einer um iS" beschriebenen 



