über den Krümmungs - Schwerpunkt ebener Curven. 59 



■^s'X{A) seinen früheren Werth, =nrs'' . Demnach finden für die eben 

 beschriebenen, niodificiiten, Figuren 33, TV und 2Ö ganz dieselben Glei- 

 chungen statt, wie für die früheren (§.XXV. und XXVI.), nämlich: 



74. ?r=2ö = 25 + 4-5(a'=.^), 



75. Tr=^ = ^ + ^%{a\,A) + irs\ 



76. w =tt, =m-h^X{al.A), 

 11. Jr= 2Ö = w+irs"- = xv-hVTs\ 



78. 2Ö =20, undtt) = w, 



79. (2ö-25) = (20,-25) = (ro-S5)+7^/ = (tt,,-S5)+T*^ 



Die Vergleichung dieser Formeln mit denjenigen in (g.XXII.) — 

 wofern für beide die nämliche gegebene Curve 33 zu Grunde gelegt und be- 

 merkt wird, dafs für unendlich kleine Winkel sin 2^ =: 2sin^ = 2A und 

 daher z. B. 2 (a* sin 2^) = 2X{a' • A) — giebt das folgende interessante Re- 

 sultat : 



80. W= 25 = 2F; und (v = tt) = 2v. 



Aus allem zusammengenommen folgen nachstehende Sätze : .; 



a. „Rollt irgend eine geschlossene und überall convexe Curve 

 23 in einer Ebene auf einer festen Geraden G, bis sie sich ganz 

 umgedreht hat, so beschreibt jeder mit derselben fest verbun- 

 den gedachte Punkt P irgend eine bestimmte Figur JV (ein ge- 

 mischtliniges Viereck PP^A,A), deren Inhalt gröfser oder klei- 

 ner wird, nachdem der Punkt gewählt wird. Die von dem Krüm- 

 mungs-Schwerpunkte S der Curve 35 beschriebene Figur w hat 

 unter allen den kleinsten Inhalt. Je weiter ein Punkt P von die- 

 sem Schwerpunkte S entfernt ist, desto gröfser ist der Inhalt 

 der von ihm beschriebenen Figur TV; nämlich derselbe über- 

 trifft jenen kleinsten Inhalt w jedesmal gerade um diejenige 

 Kreisfläche (tts'), welche den Abstand «des Punktes P von S zum 

 Radius hat (77.); so dafs also Punkte P, welche gleich weit von 

 dem Krümmungs-Schwerpunkte ^S'entfernt sind, Figuren TV yoii 

 gleichem Inhalte beschreiben, und auch umgekehrt." 



b. Werden aus einem beliebigen festen Punkte oder Pole P 

 in der Ebene der gegebenen Curve 35 nach allen Punkten A, B, C, 



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