über den Krümmungs-Schwerpunld ebener Ciaven. 63 



Anmerkung. Bei der verkürzten Cykloide entstellt, wenn z. B. 

 der Punkt P in dem durch den anfänglichen Berührungspunkt A gehenden 

 Durchmesser des Kreises und oberhalb des letzteren und der Basis G liegt, 

 wie (fig.8.), eine Schleife QQ,, indem die Cykloide im Punkte Q sich selbst 

 schneidet, und alsdann besteht ihr Inhalt, d. i. ^F, aus den zwei Räumen: 



APQP,A,A + QQ„ 



oder aus den drei Stücken : 



APRA+A,P,TA,+RQ,TR. 



Gleicherweise ist in allen analogen Fällen, wenn die gegebene Curve 

 35 eine beliebige ist, der Inhalt der Figur TJ^ zu nehmen. 



Zieht man die Gerade -PP,, welche die Cykloide in den Punkten P 

 und P^ berührt, so entsteht der Arbelos PQP ^P, dessen Inhalt mit dem 

 der Schleife QQ^ immer einen leicht angeblichen Unterschied bildet. Näm- 

 lich er ist immer gleich dem Unterschiede zwischen dem Rechteck APP^A, 

 und der Figur TV^. Oder wird BP = a-, also s = r+x, gesetzt, so ist: 



Arhe\.PQP,—Sch\eii.QQ, = APP,.4, — TF=Tr{2rs—s"-) = -!7(r'—x'), 



d. h. „der genannte Unterschied ist auch gleich dem Unterschiede 

 zwischen derFläche des rollenden Kreises und derjenigenKreis- 

 fläche, deren Radius ar = « — /• ist." 



Wenn also x = r oder s = 2/- ist, so ist auch PQP, = QQ,, d. h. 

 sohat gerade der Arbelos mit der Schleife gleichen Inhalt. 



ß. Wenn die gegebene Curve 33 eine Ellipse ist. 

 Nach (§. XXVII, 80. u. §. XXIII, B.) folgt: 



88. Tr=Tr(a--\-b' + s'), 

 das heifst : > 



„Rollt die Ellipse 25 auf einer festenGeraden<x, bis sie sich 

 ganz umgedreht hat, so beschreibt jeder mit ihr verbundene 

 Punkt P eine Figur TK, deren Inhalt der Summe dreier Kreis- 

 flächen gleich ist, welche beziehlich die halben Axen (a, h) der 

 Ellipse und den Abstand (s) ihres Mittelpunktes (.5") von dem be- 

 schreibenden Punkte P zu Radien haben." 



