über den Krümmimgs- Schwerpunkt ebener Curven. 75 



Anmerkung. 1. Die Tangente ^4'^ oder 7193 kann, vom Berüh- 

 rungspunkte aus, nach zwei entgegengesetzten Richtungen genommen wer- 

 den, wodurch zugleich zwei verschiedene Figuren T und T', oder 5 und $' 

 entstehen, aber jedesmal haben beide unter sich gleichen Inhalt, so dafs 

 immer r= T', oder $ = 2;' (vergl. g.XXVn.). 



2. Der letzte Satz (b, 3.) findet ähnlicherweise statt, wenn aufser dem 

 Bogen "ZiCSS noch mehrei-e andere Bogen 7i, 58,, Ti^^Ss» •••• unter densel- 

 ben Bedingungen gegeben sind, denen dann ebenfalls Schwerpunkte S.^, S^, 

 ...., so wie Winkel q,, q^, .... und Figuren X,, Xo, .... entsprechen. 

 Nämlich ebenso wird alsdann die Summe T-i-X+Xt-hXo-i- ein Mini- 

 mum ^ m, wenn der Pol P in den Schwerpunkt @ der Punkte S, S,, S„, 

 iS",, .... fällt, wofern diesen die Coefficienten q, q, q,, q^, .... zugeordnet 

 sind ; und aufserdem hat man für einen beliebigen Pol P, wenn P© = r 

 gesetzt wii'd, die Relation : 



126. T+2;+2;,+2;,4-.... = m + 4-(9 + q + q,+q2 + ....).r'. 



Die Richtigkeit dieser Angaben folgt leicht aus (§. VII.). 



3. Soll in Ansehung des obigen Satzes (a.), unter allen Punkten P, die 

 in der rollenden Curve 25 (wovon y^CB nur ein begrenztes Stück ist) selbst 

 liegen, derjenige gefunden werden, welcher die kleinste oder gröfste Figur 

 JK beschreibt, so ist klar, dafs derselbe nur der Fufspunkt einer Normale 

 sein kann, die aus dem eigenthümlichen Punkte R auf die Curve 25 gefället 

 wird. Ebenso verhält es sich, wenn der Punkt P in irgend einer anderen, 

 in der Ebene der 25, gegebenen Curve liegen soll. — Dasselbe kann auch 

 über die Sätze (b.) bemerkt werden. , , ,, 



§. XXXIV. 



Durch die vorstehende Betrachtung (g.XXXIII.) sind wir zu den all- 

 gemeinsten Resultaten gelangt; denn nicht nur lunfassen dieselben die mei- 

 sten früheren als besondere Fälle, sondern es folgen daraus noch zahlreiche 

 andere spezielle Sätze, wofern man nämlich in Rücksicht der gegebenen 

 Elemente bestimmte Einschränkungen und Modificationen eintreten läfst ('). 



(') Da man sich, in allerer und neuerer Zeit, so vielfach mit Betrachtung der durch Rollen 

 erzeugten Curven (Roulette) beschäftigt hat, so dürfte es wohl auffallend scheinen, dafs das 



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