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sicli schliefst (oder in sich zurückkehrt), und der Kreis 23 oder AB gerade 

 mmal um die Basis U oder 3(S herumrollt. 



In Hinsicht der kleinsten Figur w, wofern der Winkel (j beliebig, wie 

 in (151.), kann noch bemerkt wei'den, dafs ihr Inhalt positiv oder negativ 

 sein kann, und dafs dazwischen w = o wird, wenn : 



15o. 7-: = «a , oder (—)''= i'—. — ,„ «q , 



und somit die Abstände r, und - der Punkte R und © von dem Mittelpunkte 

 Q des rollenden Kreises durch die Radien beider Kreise gegeben sind. Die 

 Werthe von W" sind dann : 



156. ir= i-(f/ + q)'r' = ^{i-i-n).qr'. 



Und wenn für diesen Fall insbesondere a = a, also n = i ist, so hat man : 



157. rl=^a-, (-^y=ll.a^; W = qr^ . 



Es giebt noch allgemeinere Fälle, bei allgemeineren Curven, wo der 

 eigenthümliche Punkt R sich unmittelbar angeben läfst, wie z. B. folgende. 



IV. Wenn jede der beiden Curven 23, U geschlossen und die rol- 

 lende 23 einen Mittelpunkt hat; wenn ferner ihre Umfange 

 sich verhalten, wie zwei ganze Zahlen v'.u, die keinen ge- 

 meinschaftlichen Theiler haben, jedoch v gerade ist; und 

 wenn endlich 23 so lange rollt, bis sie wieder genau in ihre 

 anfängliche Lage gelangt, d. h. bis wieder die nämlichen 

 Punkte A und 2t beider Curven sich treffen, was erst nach v 

 Umläufen der 23 um U eintritt, und wo dann jeder mit 25 ver- 

 bundene Punkt Pin seine ursprüngliche Lage kommt, also 

 die von ihm beschriebene Curve JV in sich zurückkehrt: so 

 fällt der eigenthümliche Punkt R allemal mit dem Mittel- 

 punkte der rollenden Curve 23 zusammen. 



Nämlich unter diesen Bedingungen vereinigen sich die vier Punkte S, 

 S^ , <B und R alle mit dem Mittelpunkte der Curve 23. Denn dafs zunächst 

 iS in denselben falle, ergiebt sich daraus, dafs der in Betracht kommende 

 Bogen AB bei 23 gerade aus dem «fachen Umfange dieser Curve besteht, 



