iihei' den Krümrnungs-Schwej'pwikt ebener Curi'en. 85 



folglich der Krümmungs - Schwerpunkt S des ganzen Bogens mit dem des 

 einfachen ümfanges der Curve 2) zusammenfällt und mithin der Mittelpunkt 

 der letztern ist (g.XXI.). Zugleich folgt hieraus, dafs der Winkel q = U'27r, 

 und da der Endpunkt B des Bogens mit dem Anfangspunkte A zusammen- 

 fällt, dafs die Sehne b ^ o ist. Ebenso ist der Winkel q = v2it, weil der 

 überrollte Bogen 2193 aus dem r fachen Umringe der Basis U besteht. 



Um zu zeigen, dafs auch der Schwerpunkt S^ des Bogens AB, wel- 

 cher von der Krümmung der Basis 2135 abhängt, in denselben 3Iittelpunkt 

 falle, denke man die Curven 2} und U, von den Anfangspunkten A und 21 

 aus, beziehlich in v und u gleiche Theile getheilt: so sind diese Theile alle 

 von gleicher Länge. Die Theile von 2} mögen nach der Reihe, von A an- 

 fangend, durch 2J,, SSaj 2535 2)„ bezeichnet werden. Sie stehen ein- 

 ander paarweise gegenüber und sind congruent — weil 23 einen Mittelpunkt 

 hat und v = 2n eine gerade Zahl ist — so dafs also 23, = 23„+,, 232 = SS„+2' 

 23„ = 232„ , und dafs ferner irgend ein Punkt X, in 23, und der ho- 

 mologe Punkt ^„^., in 23„ + , allemal die Endpunkte eines Durchmessers der 

 Curve 25 sind, also ihr Mittelpunkt in der Mitte der Geraden X^X^_^^ liegt. 

 Heifsen die Theile der Basis U, von 2t aus nach entsprechender Richtung 



genommen, U,, U^, U3, U„ . Jeder dieser Theile wird je einmal von 



jedem der vUmfangstheile der 23 — während diese f Umläufe um U macht 

 — überrollt, wovon man sich durch blofses Abzählen leicht überzeugt. In 

 irgend einem Theile von Uj etwa in U, , fixiie man einen beliebigen Punkt 



3f: so kommt derselbe mit solchen v Punkten X^, X^, X^, X.-,^ der 



rollenden 25 in Berührung, welche auf ihre v Umfangstheile 23, , 232 .... 2S2 „ 

 so vertheilt, dafs sie die Endpunkte von n Durchmessern der 23 sind. Daher 

 haben die Gewichte, welche je einem System von solchen v Punkten X, , 

 X^, -X^,, , vermöge der Krümmung der Basis U im Punkte 3c, zukom- 

 men, allemal den ölittelpunkt der Curve 23 ziun Schwerpunkt; und folglich 

 mufs auch der gemeinschaftliche Schwerpunkt aller Systeme, d. i. S^, in 

 diesen Mittelpunkt fallen. 



Wenn aber S und 5", zusammenfallen, so vereinigt sich auch © mit 

 ihnen; und da ferner die Sehne b = o ist, so liegt auch R im nämlichen 

 Punkte, so dafs also die vier Punkte S, .9, , <B und R alle mit dem Mittel- 

 punkte der rollenden Curve 25 zusammenfallen. 



