üher den Ki-ümmu?igs- Schwerpunict ebener Curven. 87 



rad — aber immerhin relative Primzahlen — sind: so findet der 

 Satz, sammt der Formel (158.), gleicherweise statt." 



Denn wenn U einen Mittelpunkt hat, so hat sie in den Endpunkten 

 3c, §) jedes Durchmessers gleiche Krümmung; zwei solche Punkte aber tref- 

 fen mit zwei Reihen Punkten auf 25 zusammen, etwa mit X,, X,, X 



und F, , 1^2» ^.5 welche paarweise die Endpunkte von Durchmessern 



der 33 sind, nämlich so gepaart, dafs je ein Punkt X mit irgend einem Punkte 

 Y zusammengehört (weil v und u ungerad sind); daher mufs der Schwer- 

 punkt dieser zwei Reihen Punkte, wenn sie — vermöge der Krümmungen 

 in 3f und gj — gleiche Gewichte haben, in den Mittelpunkt der Curve 25 

 fallen; woraus folgt, dafs auch der Schwerpunkt S^ in denselben Mittel- 

 punkt fällt. 



Dieser Satz findet auch statt, wenn insbesondere v ■= u ■= i. 



§. XXXV. 



Zum Schlüsse füge ich noch folgende Bemerkungen hinzu. 

 1. Wenn insbesondere die beiden Curven 25 und U einander gleich (con- 

 gruent) und wenn sie einander — während 25 auf U rollt — stets in homo- 

 logen Punkten berühren, so ist die von irgend einem mit 25 verbundenen 

 Punkte P beschriebene Curve TV, allemal der dem homologen Punkte ^ 

 in Bezug auf die Basis U entsprechenden Fufspunkten- Curve V ähnlich, 

 und zwar halben dieselben den festen Punkt ^ zum (äufseren) Ahnlichkeits- 

 punkt imd ihre entsprechenden Dimensionen verhalten sich, wie 2:1. Denn 

 die gemeinschaftliche Tangente der Curven 25 und U in ihrem Berührungs- 

 punkte {A%) geht offenbar in jedem Augenblicke durch die Mitte der Gera- 

 den 53-P und steht auf ihr senkrecht, woraus das Behauptete folgt. 



Zugleich folgt hieraus, dafs die Curve TV selbst als Fufspunkten- 

 Cui've angesehen werden kann, nämlich des Punktes ^5 in Bezug auf eine 

 Curve U,, welche der Curve U ähnlich, mit ihr 5) zum Ähnlichkeitspunkte 

 und zudem doppelt so grofse Dimensionen, als diese, hat. So z. B. sind 

 also die sämmtlichen Fufspunkten -Curven in Bezug auf einen gegebenen 

 Kreis nichts anderes, als die verschiedenen Epicykloiden, welche entstehen, 

 wenn der rollende Kreis der Basis gleich, und wenn ihr Durchmesser dem 

 Radius jenes Kreises gleich ist. Gleiche Folgerungen ergeben sich für die 



