Über Grenzfachwerke in der Ebene und im Raume. 11 
rechteck dieser Gleichungen besteht aus 2n —3 Horizontal- und 2n Vertikal-Reihen. 
Man unterdrücke außer der zu einem Stabe gehörigen Horizontalreihe die vier auf 
seine Endpunkte bezüglichen Vertikalreihen und bilde aus dem verbliebenen Größen- 
quadrat die Determinante. Die Werte dieser Determinanten, von denen jede zu 
einem Stabe des Fachwerks gehört, sind entweder alle von Null verschieden oder 
alle gleich Null. In letzterem Falle ist das Fachwerk instabil. 
5. Daß die nach den Theoremen I. und II. einem Fachwerkstabe zugeord- 
neten Determinanten beide von Null verschiedene Werte oder beide den Wert 
Null haben, kann man nach dem Vorgange von Föppl sehr leicht zeigen, 
wenn man das Quadrat der Länge eines Fachwerkstabes als Funktion der 
Koordinaten sämtlicher Knotenpunkte ansieht. Zu den partiellen Diffe- 
rentialquotienten der 3'" Funktion nach allen Veränderlichen sind in dem 
Koeffizientenrechteck des Theorems I. die Koeffizienten der £'" Vertikal- 
reihe proportional, hingegen in dem Koeffizientenrechteek des Theorems I. 
die Koeffizienten der %' Horizontalreihe. Hieraus wird evident, daß beide 
Determinanten, die zu einem Stabe gehören, gleichzeitig den Wert Null 
annehmen. Legt man den betreffenden Stab ganz fest, so sind die Qua- 
drate der Längen der 2n—4 anderen Stäbe nur noch Funktionen von 
2n—4 Veränderlichen. Mit der Funktionaldeterminante dieser Funktionen 
deckt sich — das ist eine leichte Umschreibung des Föpplschen Theo- 
rems — die einem Stabe zugeordnete Determinante in ihrer zweiten Be- 
deutung'. 
! Die oben angedeutete Entwieklung unterscheidet sich von der Föpplschen nur 
darin, daß ein allgemeines Koordinatensystem beibehalten wird, während Föppl den ersten 
Knotenpunkt im Anfangspunkt der Koordinaten festhält, den zweiten auf der z-Achse ver- 
schiebt. Bei der Untersuchung auf Stabilität erhält man somit sogleich 2» — 3 homogene 
lineare Gleichungen für 22 —3 unendlich kleine Unbekannte. Auch die Bestimmung der 
Spannkräfte bei Einwirkung äußerer Kräfte führt, da naturgemäß von den vier ersten Gleichungen 
des Systems (1.) nur die dritte beibehalten wird, zu 2n — 3 Gleichungen für 2» — 3 Unbekannte. 
Daß die Determinanten beider Gleichungssysteme nur gleichzeitig verschwinden können, wird 
nach der oben angedeuteten Methode gezeigt, wobei die erste Determinante als Funktional- 
determinante erscheint, wenn man die Quadrate der Stablängen als Funktionen der 2n — 3 ver- 
änderlichen Koordinaten betrachtet. Wenn die beiden ersten Knotenpunkte durch einen 
Fachwerkstab verbunden sind, so erkennt man sehr leicht, daß jede der beiden Determinanten 
in das Produkt zweier Determinanten erster und (2» — 4)! Ordnung übergeht. Wir würden 
so die Reihe unserer Determinanten wieder erhalten, eine jede auf ein spezielles Koordinaten- 
system bezogen. Man vergleiche die Arbeiten: Föppl, Zur Fachwerkstheorie, Schwei- 
zerische Bauzeitung, Bd. 9, Zürich 1887, S. 42 und Föppl, Vorlesungen über Technische 
Mechanik, Bd. 2, 1. Aufl., Leipzig 1900, $ 37, S.237. Ganz kurz hatte Föppl schon 1880 
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