Uber Grenzfachwerke in der Ebene und im Raume. 17 
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11. Ich will jetzt ein Ersatzstabverfahren zur Behandlung der Frage 
heranziehen. Das Fachwerk besitze die n(=r+k+2) Knotenpunkte 
0,A,, As, en Ass. Die Das N) Br. 
Außer 0A,,0Aa,-:--, 0A,;,ı, den Stäben erster Art, enthalte das Fach- 
werk 4 — / Stäbe zweiter Art, deren jeder von zwei Punkten aus der Reihe 
A, Ay: Ay;ı begrenzt wird und 2r-+/ Stäbe dritter Art, von denen 
jeder einen der Punkte B,, B,,---, B, mit einem der Punkte B,, B,,-:-,B 
A), Aa,*--, A,;ı verbindet. Die Anzahl der Stäbe ist 
2zn—3 =k+l+k— I + Ir Hl= 2dk+2r +1 = 2r+k+2)—3. 
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Das Fachwerk sei nicht für jede Lage von 0 in sich einspannbar. 7 darf 
dann nicht negativ sein, weil sonst ein Fachwerk mit #—+2 Knotenpunkten 
sich die entsprechende Ecke des gegebenen Fachwerks bei einer unendlich kleinen Ver- 
schiebung in sich bewegt. Aus einem Pascalschen Sechseck kaun man durch sehr ein- 
fache Ähnlichkeitsbetrachtungen solche Hilfssechsecke ableiten und so die Instabilität des 
speziellen Fachwerkes nachweisen. Land hat dies in der Arbeit ausgeführt: Land, Über 
die statische und geometrische Bestimmtheit der Träger, insbesondere der Fachwerkträger. 
Centralblatt der Bauverwaltung, Jahrgang 7, Berlin 1887, S. 363 (vergl. S. 367). Machen die 
Dreiecke LA,0, und LOA, unendliche kleine Drehungen um Z, so bleiben alle Seiten des 
Vierecks 4,04,0, der Länge nach ungeändert, in der gleichen Beziehung stehen M und 
N zu den beiden Vierecken A4,0,4,0, und 04,0,4,. Verschiebungen der drei Gelenk- 
vierecke A,0, 4,0, 4,0 4,0,,4,0, 4,0, in sich sind aber nach einem Hauptsatze der Kine- 
matik dann und nur dann miteinander verträglich, wenn L, M und N in einer Geraden liegen. 
Grübler hat auf diese Weise die Instabilität des Fachwerks in der Abhandlung bewiesen: 
Beitrag zur Theorie des ebenen einfachen Fachwerks, Rigaer Industrie-Zeitung, Jahrgang 
1857, Nr.4 und 5 (vergl. Fig. 19). 
Müller-Breslau hat die oben angedeutete Entwicklung auch in der Arbeit gegeben: 
Beitrag zur Theorie des ebenen Fachwerks, Schweizerische Bauzeitung, Bd. 9, Zürich 1887, 
S.121. In einer Schlußbemerkung (S. 123) weist hier Müller-Breslau auf zwei Methoden 
hin, welche die Spannkräfte in den Stäben des Fachwerks zu berechnen gestatten, 
wenn gegebene äußere Kräfte auf dasselbe wirken. Nach der einen erhält man in Er- 
weiterung des Ritterschen Verfahrens zwei Momentengleichungen für die Spannkräfte der 
beiden in M.sich schneidenden Stäbe; bei der andern Methode wird, unter Benutzung eines 
von Föppl eingeführten Kunstgriffs, das Fachwerk als ein Dreigelenkträger mit den »imagi- 
nären« Gelenken L, M, N aufgefaßt. Beide Male wird das Fachwerk als unbrauchbar, nicht 
mehr statisch bestimmt, erkannt, wenn Z, M,N in einer Geraden liegen. 
Bekanntlich hat Henneberg seine Methode der Stabvertauschung an dem Beispiel 
eines Sechsecks mit drei Diagonalen vollständig durchgeführt, aber das hierbei sich ergebende 
Kriterium für statische Unbestimmtheit nicht auf eine geometrische Form gebracht: Statik 
der starren Systeme, S. 234, Tafel X. 
Phys.-math. Klasse. 1912. Anhang. Abh. I. 3 
