Über Grenzfachwerke in der Ebene und im Raume. 27. 
verteilt werden. Verlangt man nämlich, das Fachwerk solle zunächst in den Punkten 
Bı, By, --:, B, in sich eingespannt sein, so werden die Stäbe der Gruppe (0) stets 
ohne Spannkraft bleiben. Aus den Stäben der Gruppen (1), (1,2) und den drei 
von einem ganz bestimmten Punkte 0, ausgehenden Stäben 0, A,, 0, Ay, 0, A, kann 
man aber ein in allen seinen Knotenpunkten in sich eingespanntes Stabwerk bilden. 
Es enthält, wenn von r—r, der Punkte B\, Ba, :-, B, nur Stäbe der Gruppen 
(0) und (2) ausgehen und alle drei Punkte A,, Ay, A, Stäbe der Gruppen (1) 
oder (1,2) entsenden, bei r, +4 Knotenpunkten höchstens 2r, +4 Stäbe, also 
mindestens einen Stab weniger, als ein statisch bestimmtes Fachwerk von r, +4 
Knotenpunkten. An die Stelle des Stabwerks kann ein Fachwerk treten, wenn nur 
zwei der Punkte A,), As, Ay, deren Verbindungslinie alsdann ein Bestandteil des 
Grenzkegelschnitts wird, von Stäben der Gruppen (1) und (1, 2) getroffen werden. 
Ein Stabwerk gleicher Art bilden die drei von einem Punkte 0, ausgehenden Stäbe 
0, A, , 0, Ay, 05 A, mit den Stäben der Gruppen (1,2) und (2). 
Ein Punkt 0 liefert ein in sich einspannbares Fachwerk dann und nur 
dann, wenn er mit den fünf Punkten A,, Ay, As, 01, 0, einem Kegelschnitt an- 
gehört, also 0 A,0, A30, A, ein Pascalsches Sechseck ist. 
Vereinigen sich 0, und 0, an derselben Stelle 0,, so kann das zugehörige 
Fachwerk einmal unter Beanspruchung der Stäbe 0, A, , 0, As, 0, Az eingespannt 
werden, dann aber auch, wenn man diese Stäbe entspannt. Da man sie jetzt 
durch irgend drei andere Stäbe 0 A,, 0 Aa, 0 A,, welche die Spannkraft Null er- 
halten, ersetzen kann, so ist das Fachwerk nun für jeden Punkt der Ebene in 
sich eingespannt". 
! Verhält sich die Spannkraft des zweiten Hauptstabes zu der des ersten, welcher 
mit der Einheit der Spannkraft eingespannt wird, wie v:1, so wirken die Stäbe 0Aı, 0A,, 
0A; des zugehörigen Grenzfachwerks mit den Kräften A=P,ı+uP,.s, R=P,ı+uP,s, 
P=P,ı+uP;s auf die Punkte Aı, Aa, Az. Wenn jetzt A, Cı und A», in Größe und 
Richtung die Kräfte Pı,, und P;,, darstellen, C, X, und 6, X, hingegen die Kräfte x Pı, und 
u P,2, so durchlaufen X} und X, ähnliche Punktreihen. Die Träger Aı Xı und A» X, der 
Kräfte P, und P, beschreiben also projektive Strahlenbüschel, und man erkennt durch eine 
Betrachtung, die in ganz anderem Zusammenhange gelegentlich von Müller-Breslau ange- 
stellt wurde, die Grenzkurve des Fachwerks hinsichtlich eines dreistäbigen Knotenpunktes als 
Kegelschnitt. Betrachtet man das Fachwerk als instabil und sind A/, A,, A/, 0’ die Pole der 
unendlich kleinen Verschiebungen, die A,, Aa, As, 0 bei einer Deformation des Fachwerks 
erfahren, so müssen A, 0, Aa 0, A; 0 bzw. zu A/ 0’, 45 0', A} 0’ parallel sein. Hieraus läßt sich 
sehr leicht eine projektive Erzeugung des Grenzkegelschnitts ableiten. Vergl. Grübler a.a. O. 
(Zeitschrift für Mathematik und Physik, Bd. 35, Leipzig 1890), S. 249 und Schur, Über ebene 
einfache Fachwerke, Mathematische Annalen, Bd. 48, Leipzig 1897, S. 142 (S. 154). 
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