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0, wird dann ein Doppelpunkt der Grenzkurve, und es läßt sich sowohl 
die dritte als auch die vierte singuläre Gruppe durch Zusammensetzung 
der beiden ersten gewinnen. Diesen Fall behandle ich ganz kurz weiter 
unten (29.). Liegen endlich 0, und 0, mit A, in einer Geraden, so läßt sich 
wohl die vierte singuläre Gruppe — 0, ist der Schnittpunkt von 0, A, 
und 0,A, —, nieht aber die dritte aus den beiden ersten singulären Gruppen 
zusammensetzen. Bei passender Bezeichnung können wir unter den ge- 
troffenen Einschränkungen stets die dritte Gruppe als unabhängig von den 
beiden ersten betrachten; im allgemeinen trifft es natürlich für die dritte 
und die vierte singuläre Gruppe zu. 
22. Dies vorausgesetzt, kann die allgemeinste Gruppe der Mannigfaltig- 
keit in der Form dargestellt werden: 
PR =vVP=#V BD, RP=v/B+V/P, Herd HrVP, P=vV DVD +Vv2 0) 
Wirken nun P\,P,, P,, P, auf einen Punkt 0, so folgt (Fig. 4., S. 32). 
VI. Mit dem gegebenen Fachwerk zugleich geht stets ein Normalfachwerk 
aus acht Knotenpunkten 0 ,0,, 03, 03, A), Ag, Az, A, und 13 (= 2.8 — 3) Stäben 
0A,,04,04A;,,04,, 0,Asa, 0143, 0144, 0541, 09As, 09Ag, 03A,, 03 Aa, 03.44 
in ein Grenzfachwerk über. Ihre Grenzkurven bezüglich 0 fallen zusammen. 
Man braucht nur die Stäbe 0, A,, 0, A;, 0, A, so einzuspannen, daß sie 
auf 0, mit den Kräften vP},vP;},vP| wirken und entsprechende Fest- 
setzungen für 0, und 0, zu treffen, um den Satz zu bestätigen. P\, P,,P;,P, 
sind eben die Kräfte, mit welchen die Stäbe 0A,,0A,,0A,, 0A, bei beiden 
zugleich in sich eingespannten Fachwerken auf die Knotenpunkte A,, As, 
A;, A, wirken. Greifen nun in den Knotenpunkten 0, A,, Aa, Az, A,, 
BD, By,---, DB, des gegebenen Fachwerks im Gleichgewicht stehende äußere 
Kräfte & , Qı, Ras Ras Qu, As Ras,» Q, aan, so können (11.) nach Beseiti- 
gung der drei Hauptstäbe — sie sind hier alle Stäbe dritter Art — die 3r 
übrigen Stäbe dritter Art auf genau eine Weise so eingespannt werden, daß 
die in BD, angreifenden Stabkräfte mit Q,,, im Gleichgewicht stehen 
(=1,2,---,r). Ist nun Q, die Resultante von Q, und den Stabkräften, 
die auf A, in Stäben dritter Art wirken, so stehen &, 1, &, &, Q, mit- 
einander im Gleichgewicht und bewirken eine Einspannung des Normal- 
fachwerks, bei der 0A,,04As,04A,,0.A, gerade die Spannkräfte erhalten, 
die ihnen auch bei der Einspannung des gegebenen Fachwerks zukommen. 
Aus den Spannkräften der übrigen Stäbe des Normalfachwerks ergeben 
