Über Grenzfachwerke in der Ebene und im Raume. 53 
Ist W, 
m 
von Null verschieden, so verschwindet also Z,. Erteilt man nun, 
je nachdem sich 9 — a,b — by, c— als von Null verschieden erweist, 
durch Verfügung über co, der Größe X,, Yı,Zı den Wert Null, so ver- 
schwinden in jedem Fall alle sieben Größen X9, Fo, Z, Aı, Fı, Z1: Zu: 
Das Fachwerk ist in sich einspannbar, nicht mehr statisch bestimmt. 
Dieses Resultat können wir aber nicht mehr folgern, wenn W,, ver- 
schwindet und mit ihm Z,,. Ein Fachwerk, das bei allgemeiner Lage 
zum Koordinatensystem sich als statisch bestimmt erwiesen hat, werde 
nämlich so gedreht, daß W,, verschwindet, also die z-Achse zur Ebene 
A, A, A, parallel liegt. Läßt man allein in den Punkten A,, A,, A, Kräfte 
@o, Qı, Q, angreifen, von denen die letzte zur z-Achse parallel ist, so gelten 
für die nun entstehenden Spannkräfte 0,,0,,'',0m_,, die nicht alle 
gleich Null sind, die Gleichungen (18.) und es verschwindet Z,,- 
Setzt man, wie üblich, die Anzahl der Knotenpunkte (m+1) gleich n, 
so besteht das Theorem: 
XII. Man stelle für jeden Knotenpunkt eines Raumfachwerks von n Knoten- 
punkten und 3n — 6 Stäben drei Gleichungen auf zur Ermittlung der Komponenten 
der Kraft, welche bei Einspannung aller Stäbe den auf ihn wirkenden Stab- 
kräften das Gleichgewicht hält. Aus dem Koeffizientenrechteck der 3n so ent- 
standenen Gleichungen (13.) entferne man die auf den ® Stab bezügliche 
Vertikalreihe und die sechs Horizontalreihen, welche sich auf seine beiden End- 
punkte beziehen (A, und A,). Hierauf beseitige man noch eine der drei Horizontal- 
reihen, welche sich auf einen von A, und A, verschiedenen Punkt A, beziehen. Aus 
dem zurückgebliebenen Koeffizientenguadrat von 3n— 71 Horizontal- und Vertikal- 
reihen bilde man die Determinante und bezeichne ihren Wert mit X,a, Y .„. oder 
Z, 5, Je nachdem man die erste, zweite oder dritte Horizontalreihe von A, beseitigt, 
also die w-,y- oder z- Achse bevorzugt hat. 
Ist irgendeiner dieser (d3n— 6)’ Werte X, 3, Ya, Z.; von Null verschieden, 
so ist das Fachwerk statisch bestimmt. Irgend eine andere dieser Größen ver- 
schwindet dann und nur dann, wenn die zu ihr gehörige Achse parallel zu der 
Ebene liegt, welche ihren Stab A, A, mit dem bei ihr bevorzugten Knotenpunkt A, 
verbindet, insbesondere also dann, wenn A,, A,, A, einer Geraden angehören. 
Verschwindet irgendeine der Größen X.3, Ya, Z.s, ohme daß die be- 
zeichnete Bedingung stattfindet, so gilt das Gleiche von allen anderen; das Fach- 
werk ist in sich einspannbar, also nicht mehr statisch bestimmt. 
