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Über Grenzfachwerke in der Ebene und im Raume. 59 
von U, %g, **, Unpzı hervorgehende Gruppe PıPy---P,y2. Das Fach- 
werk kann in einen Punkt übergeben. Man erkennt, daß der Knoten- 
punkt D, zugleich ein Punkt 0, der Grenztläche ist, wenn von den Geraden 
B,A,, Bı As, ::-, Bi A,y» mehr als drei — sagen wir s+3 — Stäbe des 
Fachwerks sind. s geeignete dieser Stäbe können nämlich geradezu als 
Hauptstäbe dritter Art betrachtet werden. Die drei übrigen sind die einzigen 
Stäbe, welche gemäß den Formeln (21a.) noch eingespannt sind, wenn wir die 
!— s anderen Hauptstäbe dritter Art entspannen. s+3 in Aı, Ay, , Ayya 
angreifende Kräfte bilden also eine spezielle Gruppe P}P,:--- Pijs, wenn 
sie in den s+ 3 bezeichneten Stäben auf B, wirken und im Gleichgewicht 
stehen. DB, ist zugleich ein Punkt 0, der Grenzfläche, und zwar, wie wir 
sehen werden, ein s-facher Punkt. 
Sind sämtliche Stäbe 0A,,0As,---,0A;,;2 in einem Teilfachwerk 
von m Knotenpunkten und 2” — 3 Stäben enthalten, so ist es das »Erdfach- 
werk« eines aus den übrigen Stäben des Hauptfachwerks gebildeten statisch 
bestimmten gestützten Fachwerks, wenn nicht das Hauptfachwerk für jeden 
Punkt 0 des Raumes in sich eingespannt sein sollte. 
43. Um nun zuerst für den Fall k=2 die Gleichung der Grenzfläche 
zu erhalten, erteilen wir einem der vier Stäbe 0.A,,04,,04A,,0A, und 
den 2 Hauptstäben dritter Art beliebige Spannkräfte und spannen unser 
Fachwerk in den Punkten 0, B,, Bs,:--, BD, in sich ein. Q@, sei die Resul- 
tante der in A, angreifenden Stabkräfte. Mittels der Kräfte Q,, a; @, Qı; 
die im Gleichgewicht stehen, spannen wir das aus den Kanten des Tetra- 
eders A, A, A; A, bestehende Fachwerk ein. In A,A, entsteht eine Spann- 
kraft von der Form 
S.=us), +uS.+W8,+ +80 @2u=1,2,3,4). 
— A, 
Die S" entstehen, wenn die Kräfte 3, Q, @, in den Geraden 
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0A,.0A,,0A,,0 A, wirken; wenn jene Stäbe entspannt sind und von allen 
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Hauptstäben allein der 6° (8=/) mit der Einheit der Spannkraft eingespannt 
ist, entstehen die Spannkräfte S®. Q,, Q, Q, Qı halten dann den Kräften 
Pa, Pas, Pas, Pı; der %“" Hauptgruppe das Gleichgewicht. Das Fachwerk 
wird in sich einspannbar sein, wenn die /+1 Kanten des Tetraeders, 
die nieht dem Hauptfachwerk angehören, die Spannkraft Null erhalten. 
Zur Ermittlung der S/" bedarf es einer kurzen Hilfsbetrachtung. An 
einem Parallelepipedon seien die Kanten SL, SM,SN zu den Kanten 
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