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Über Grenzfachwerke in der Ebene und im Raume. 57 
Auch in ©!), ©}, kommt, wie sich durch zyklische Verschiebung der 
Ziffern 1,2,3 erweist, x, als Faktor vor; für alle anderen Spannkräfte &/), 
ergibt sich dasselbe aus den Formeln (25.). Eine Gruppe, deren Einzel- 
kräfte zu Pi”, P\), P\), Pj”, P!) proportional sind, ruft also in den Stäben 
A,A,, Aı A, Ag Az des Hilfsfachwerks die Spannkräfte hervor: 
m Te n « n ® 2 
SN=uyı=— u sin; sin ß, |, sin dıssin a.ıH, 
— (0 DENE Q 5 2 - A . n 
SM =uy,;s= u sin a, sin a,,sin ß,, (sin 5 + 2 sin (3 — 22 ;)); 
nd / . . n . n ” n 
SM =uy;= u sin a; sin ß; |a sin ß, | sin (da — aı.) 
+2, sin 9. sin (9 1 —% 1) + 20, sin (9 1— a; ı) sin (Bıs—cı.o)t. (26.) 
Durch zyklische Verschiebung der Indizes 1,2,3 ergeben sich die Spann- 
kräfte der sechs übrigen Stäbe. Diese Formeln gelten auch, wenn A, und 
A, durch die Ebene A,A,A, getrennt werden. Die Winkel &3,%1; 1.3 
sind dann mit negativem Vorzeichen einzuführen. Halten die in 0A,, 
04A,,04A,,0A, wirkenden Kräfte Pi, P}, Pi, P, einander das Gleichgewicht, 
so rufen sie in den Stäben A,A,, Aı A;, A, A; des Hilfsfachwerks nach un- 
serer ersten Entwicklung Spannkräfte von der Form hervor: 
VON U USD ee ER RS as sin das 127.) 
Durch zyklische Verschiebung der Ziffern 1,2,3 ergeben sich die Spann- 
kräfte der übrigen Stäbe. Spannt man jetzt das Fachwerk in 0, DB, Ba, -,B, 
beliebig in sich ein, und erteilt dem Stab A,A;, falls er zum Hauptfach- 
werk gehört, eine beliebige Spannkraft, so entsteht in irgendeinem Stabe 
des Hilfsfachwerks die Spannkraft 
uN, are u'y, „tr %ı I ut Up St eu Se = SI n* (28.) 
Jeder der m+2 Stäbe des Hilfsfachwerks, der nicht dem Hauptfach- 
werk angehört, also jeder Ersatzstab, mul ohne Spannkraft bleiben, wenn 
das Fachwerk in sich einspannbar ist. Für jeden Punkt der Grenzfläche 
hat die Determinante (m + 2)“ Ordnung der ın +2 so entstehenden linearen 
homogenen Gleichungen 
von U,W, 4 ,%y,:+-, u, den Wert Null. Die so gebildete Gleichung stellt 
eine Fläche dritter Ordnung dar, wie es sein muß (XIV.), da von den 
m+2 Vertikalreihen der Determinante die erste Glieder zweiter Dimen- 
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