Über Grenzfachwerke in der Ebene und im Raume. Tl 
nicht in einer Ebene liegen. Ein Punkt 0 der Grenzfläche liefert ein in sich 
eingespanntes Fachwerk, bei dem A,0, @=1,2,3,4; 8=1,2,3,4,5) 
auf 0, mit der Kraft w,P,,. 0A, hingegen auf A, mit der Kraft P, wirkt. 
A,, As, Az, Ay, 01,02, 03,0, bestimmen eine der Grenzfläche angehörige 
Kurve. Auf jeden ihrer Punkte wirken die Kräfte 
PP, ru PR, Fo RrFrUuP.. @=1,2,3,4,%(32.) 
einer Gruppe, die sch = u =, 9, =, u =, 0 = u,) aus den 
vier ersten Hauptgruppen allein zusammensetzen läßt. Wie immer wir 0, 
wählen, enthält die Grenzfläche die soeben definierte Kurve. Umgekehrt 
liefert jeder Punkt 0, der Durchdringungskurve vierter Ordnung zweier Ober- 
flächen zweiter Ordnung, von denen die eine 0,;, die andre 0, mit jenen acht 
Punkten verbindet, ein in sich einspannbares Stabwerk aus nur 20 Stäben 
(20 = 3.9—7) bei 9 Knotenpunkten'. Wäre dem nicht so, beständen 
für 0, nicht die genannten Beziehungen (32.), so könnte man auf zwei 
wesentlich verschiedene Arten das statisch unbestimmte Fachwerk aus 
11 Knotenpunkten A,, Ay, Ag, Ay, 00, O1 , 02, 03, 04, 0;, 0, und 28 (= 3.11—5) 
Stäben A), @=1,2,3,4, 8=0,1,2,3,4,5,6) in sich einspannen. 
Bei der einen Einspannung würden die von 0; ausgehenden, bei der andern 
die von 0, ausgehenden Stäbe unbeansprucht bleiben. Aus beiden Ein- 
spannungen könnte man eine dritte zusammensetzen, bei der die vier Stäbe 
0,A1, 00, Ay, 0,A;, 0, A, ohne Spannkraft wären. Nun wäre aber das Fach- 
werk aus 10 Knotenpunkten 0,, 0,, 03, 0,, 05,04, Aı, Ay, Az, A, und 24 Stäben 
A, (@=1,2,3,4, 6 =1,2,3,4,5,6) in sich eingespannt, und zwar 
unter Beanspruchung sowohl von (; als auch von 0,. Es würden also zwei 
beliebige Punkte 0,,0, mit den acht Punkten 0,,0,,03,0,, Aı, Ag, Az, 4, 
auf einer Oberfläche zweiter Ordnung liegen; jeder Punkt 0, des Raumes 
müßte eine Durchdringskurve der bezeichneten Art festlegen. Wenn die acht 
Punkte eine solche spezielle Lage haben, bestehen die Beziehungen (32.), 
wie wir sehen werden, wirklich für jeden Raumpunkt (0,, insofern er un- 
! Überall, wo in der Folge von Raumkurven vierter Ordnung die Rede ist, ist die- 
jenige erster Art, die Durchdringungskurve zweier Oberflächen zweiter Ordnung gemeint. 
Sie kann in mannigfacher Weise zerfallen, z. B. in zwei Kreise in parallelen Ebenen. Auch 
der Raumkurve vierter Ordnung zweiter Art, welche eine Schar dreifacher, einem Hyper- 
boloid angehörenden Sekanten besitzt, kann sicher eine statische Bedeutung verliehen werden, 
da sie den partiellen Schnitt der sie tragenden Oberfläche zweiter Ordnung mit Flächen 
dritter Ordnung bildet. 
