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Über Grenzfachwerke in der Ebene und in Raume. 
sieben Punkte (A,, As, As, Ay, 0, , 02, 0,) enthalten, haben im allgemeinen 
noch einen achten Punkt 0, miteinander gemein. Der Satz gilt eben mit der 
Einschränkung, daß jede der bezeichneten Oberflächen dureh die sieben 
genannten und irgend zwei andere Punkte 0; und 0, festgelegt werden 
kann. Sie fällt dann mit der Grenzfläche eines Fachwerks bezüglich 0 
zusammen, von dessen Stäben jeder einen der Punkte 0,0,.0,,0;,0;,0; 
mit einem der Punkte A,, As, Az, A, verbindet. Das Fachwerk ist in 
sich eingespannt, wenn 0 mit 0, zusammenfällt; dieser Punkt gehört also 
der Oberfläche an. Die Konstruktion des notwendigen Punktes aus den 
sieben gegebenen gewinnt also eine erhöhte Bedeutung. Die Aufgabe ist, 
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seitdem sie Hesse' zuerst gelöst hat, vielfach behandelt worden. Da man 
ein Ebenenpaar als Oberfläche zweiter Ordnung ansehen kann, so stehen 
die acht Ecken eines Hexaeders in der genannten Beziehung zueinander. 
Liegen Q,@,Q;,Q, der Reihe nach auf den Ebenen A,A;A,, A3Aı As, 
AAsaA,, AyAgA, eines Tetraeders, so ist der Schnittpunkt RX, von &Q; A, , 
QAQıAs, A RAs der A), Ay, Az, As, Qı, Ra, Q zugeordnete notwendige 
Punkt und gehört also gleich den analogen Punkten R,, Ay, R, der Raum- 
kurve vierter Ordnung an, die A,, Ag, As, Ay, Qı, & , Q ,Qı festlegen. 
Man kann weiter folgern: 
XVII. Das aus acht Knotenpunkten A,, Ay, As, Ay, O1, 02, 0;, 0, und 
16 Stäben A.0;(@&,8=1,2,3,4) bestehende Stabwerk ist in sich einspannbar, 
wenn alle acht Knotenpunkte einer Raumkurve dritter Ordnung angehören, ferner, 
wenn 0), 0s, 0;, 0, einer Geraden angehören oder einem Kegelschnitte, der zwei 
der vier Punkte A,, As, As, A, enthält. 
Die Oberflächen zweiter Ordnung, welche «die sieben Punkte A,, As, 
As, A4,0,,02,0; enthalten, nehmen nämlich alle die Raumkurve dritter 
Ordnung, die Gerade oder den Kegelschnitt auf. 
54. Die oben benutzten Regeln führen auch im allgemeinsten Falle 
zur Feststellung der Grenzfläche eines Fachwerks bezüglich eines vier- 
stäbigen Knotenpunktes 0. Auf jeden Punkt derselben wirken die Kräfte 
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+wP,.+WP,.:+uP..t+uP.,;, (=12,3,4) 
! Hesse, De curvis et superficiebus secundi ordinis, Crelles Journal, Bd. 20, Ber- 
lin 1840, S. 285 und: Über die lineäre Construction des achten Schnittpunctes dreier 
Oberflächen zweiter Ordnung, wenn sieben Schnittpuncte derselben gegeben sind, Crelles 
Journal, Bd. 26, 1843, S. 147 (Gesammelte Werke, München 1897, S. 21 und S.73. Vergl.: 
Lehrsatz 3, S. 81). 
