Über Grenzfachwerke in der Ebene und im Raume. 89 
Grenztläche ® kann zur Festlegung von A benutzt werden. Man braucht 
nur alle Gruppen in Gleichgewicht stehender Kräfte in die erweiterte Mannig- 
faltigkeit aufzunehmen, die in 0 A,,0 A,,0 As, 0 A,,0 A; wirken können. Die 
Ebene von X schneidet die Grenzfläche, außer in Ä, in einer Geraden, die 
wir als ihre Hauptgerade bezeichnen wollen. 
Die Gleichung der Grenzfläche ergab sich oben (47.) bei der Elimination 
der m +2 Größen u,w',u,Ua,:--,u, aus m+2 Gleichungen von der Form 
uX,, tu y.+tuS,.+W8 , + tus") =S,—=0. (29.) 
Erfüllt man diese Gleichungen unter der Annahme u = 0), so gelangt man 
zu der Hauptgeraden der Grenzfläche, soll u’ = 0 sein, so stellen die Glei- 
chungen die Kurve A, dar, endlich ergibt sich für u, = 0 eine spezielle der 
weiter unten eingeführten Raumkurven siebenter Ordnung. 
63. Bekanntlich enthält eine allgemeine Fläche dritter Ordnung 27 Ge- 
rade. Man kann beweisen: 
XXIII. Eine gegebene Oberfläche ® dritter Ordnung kann als Grenzfläche 
eines Fachwerks von 13 Knotenpunkten und 33 Stäben (33 = 3.13 — 6) hinsicht- 
lich eines fünfstäbigen Knotenpunktes gedeutet werden. Irgendeine Gerade der 
Fläche kann als Hauptyerade angesehen werden; A,, As, As, Ay, A;, die Stütz- 
punkte des Knotenpunktes, können mit beliebigen Flächenpunkten zusammenfallen. 
Eine beliebige durch die Hauptgerade gelegte Ebene treffe die Fläche 
in dem Kegelsehnitt A. Man verbinde seine der Ebene A, A, A, angehörenden 
Punkte mit den Punkten A,, As, A, selbst durch den Kegelschnitt (A,, As, As). 
Er hat außer seinen fünf Bestimmungspunkten noch einen Punkt Q,; mit 
der Fläche gemein. So erhalten wir zehn Kegelschnitte und zehn Punkte 
(Au: Res liegt z. B. auf dem Kegelschnitt (A,,A,, A;). Die Oberfläche 
zweiter Ordnung #;, welche außer A und (A,, As, A;) den Punkt A, auf- 
nimmt, enthält auch (A,, Az, Ay), (As, A, Ay), (Ar, As, Aı) und schneidet be- 
kanntlich ®, außer in X, in einer Raumkurve vierter Ordnung R;; sie ist 
durch die -Punkte A,, As, Az, Ay, Qu.» a5: 5, Qı; festgelegt: nach Ver- 
tauschung von A, und A; gelangt man zu einer zweiten Fläche F,, welche 
ebenfalls X und (A,, As, As) enthält. Sie hat außer X mit ® eine Raum- 
kurve R, vierter Ordnung gemein, die A,, Ay, Az, Az, Qi.» Qa.ı, Qa.a, Qu; auf- 
nimmt. 
Man wähle jetzt auf R, die Punkte 0,,0,,0;,0,, auf R, die Punkte 
0;.0,,0, beliebig aus und betrachte das Fachwerk, das die fünf Stäbe 
Phys.-math. Klasse. 1912. Anhang. Abh. 1. 12 
