Über Grenzfachwerke in der Ebene und im Raume. 91 
andere, den Hauptpunkt enthaltende Ebene trifft C® in sechs Punkten, die 
auf einem Kegelschnitt liegen. Dies wird ersichtlich, sobald man alle zu den 
sechs ersten Gruppen gehörigen Grenzflächen einführt und benutzt, daß sich 
ihre Hauptgeraden in dem Hauptpunkte von C” treffen. 
Zu irgend sechs voneinander unabhängigen Gruppen unserer Mannig- 
faltigkeit gehört eine Kurve C®, die auf verschiedene Arten zerfallen 
kann, z. B. in die Raumkurve R; und einen beliebigen, A, enthaltenden 
ebenen Schnitt der Grenzfläche. Aus irgend sechs Gruppen läßt sich also 
eine Gruppe ableiten, deren Kräfte auf einen Punkt der Hauptgeraden 
wirken. Man kann daraus schließen, daß aus zwei solchen speziellen Grup- 
pen alle übrigen sich zusammensetzen lassen. Da man (XXIII.) jede Gerade 
zur Hauptgeraden machen kann, so folgt beiläufig: 
XXIV. Verbindet man jeden der Punkte A,, Ay, As, Aı, A; mit drei Punk- 
ten 0), 05, 0; einer Geraden, so entsteht ein in sich einspannbares Stabwerk von 
acht Knotenpunkten und 15 Stäben‘. Der Index « der Einspannung ist gleich 3. 
65. Aus sechs Gruppen unserer Mannigfaltigkeit lassen sich drei von- 
einander unabhängige Gruppen zusammensetzen, bei denen A; unbeansprucht 
bleibt; C® hat also mit R, im allgemeinen außer A,, Ay, Ay, A, noch vier 
Punkte gemeinsam. Eine leichte Betrachtung zeigt, daß zwei verschiedene 
Kurven C® außer A,, A», As, Ay, A; noch zehn reelle oder nicht reelle 
Punkte miteinander gemein haben. Aus fünf voneinander unabhängigen 
Gruppen unserer Mannigfaltigkeit kann man also zehn Gruppen zusammen- 
setzen, bei deren jeder alle fünf Kräfte auf einen Punkt wirken. Man 
schließt hiernach (56.): 
XXV. Ein Fachwerk von n Knotenpunkten und 3n— 6 Stäben besitze hin- 
sichtlich eines fünfstäbigen Knotenpunktes, der die Stäbe 0 A,, 0 As, 0 A;, 0A,, 
0A; enisendet, eine Grenzfläche. Soll ein Stab entspannt bleiben, während das 
Fachwerk in sich eingespannt ist, so durchläuft O eine Raumkurve siebenter oder 
vierter Ordnung, je nachdem der Stab fest ist, oder von 0 ausgeht. Das Stab- 
werk der wirklich eingespannten Stäbe enthält im allgemeinen <,(>1) Stäbe 
weniger, als ein statisch bestimmtes Fachwerk mit der gleichen Anzahl von 
Knotenpunkten. Entspannt man jetzt noch einen der bisher beanspruchten Stäbe, 
so hat man zehm oder vier Punkte oder nur einen Punkt der Grenzfläche zur 
' Die Art der Einspannung ist sehr leicht aus den Formeln (26.) zu erkennen. 
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