66 Crelle: Notizen über die analytischen Resultate 



Sollte es aber auch der Fall sein, so ist doch gewifs das Resultat noch näher 

 zu discutiren nütbig, besonders in Absicht der Bedeutung der Zeichen 

 in den Formeln ; denn schon bei den einfacheren Fällen der Apollonius'- 

 schen Aufgabe, ja selbst bei ganz einfachen Fällen der Geometrie und der 

 Trigonometrie, ist solches zum Theil noch nöthig. In der That bleibt bei 

 der Anwendung der Algebra auf die Geometrie in diesem Puncte vielleicht 

 noch Manches zu thun übrig ; denn es ist noch nicht lange her, dafs man 

 noch imaginaire Ausdrücke, und selbst negative Werthe von Linien, wie die 

 Formeln sie gaben, für unrichtig, oder doch für unbrauchbar erklärte; we- 

 nigstens nicht weiter sie berücksichtigte. Dieses ist aber offenbar der Strenge 

 der Methode und der Mathematik nicht angemessen; denn kein Resultat 

 einer richtigen Untersuchung ist unrichtig, oder überflüssig und ohne be- 

 stimmte Bedeutung. Das eben ist ja die hohe Vortreflichkeit der Mathe- 

 matik, dafs die Resultate, welche sie zu erreichen vermag, immer voll- 

 kommen richtig und vollständig sind; niemals Ausnahmen und Be- 

 schränkungen haben. Auch in den anderen Natm*wissenschaften würde man 

 es ohne Zweifel eben so finden, könnte man nur ihre Hieroglyphen -Schrift 

 eben so vollständig lesen, wie die Schrift der Algebra ; denn die Natur irrt 

 nie, und ihre Gesetze sind rein mathematisch; wie es zum Beispiel die Me- 

 chanik des Himmels zu erkennen giebt. 



Ich hatte vor einiger Zeit Veranlassung, die verschiedenen Fälle der 

 Apollonius'schen Aufgabe vollständig analytisch durchzugehen und die Re- 

 sultate näher zu discutiren. Vielleicht sind die Bemerkungen, die sich dabei 

 ergaben, nicht ganz ohne Interesse. Ich will also hier Notizen davon mit- 

 zutheilen mich beehren : nicht sowohl der Resultate wegen, die vielleicht, 

 wenn nicht alle, so doch gewifs gröfstentheils schon bekannt sind, als viel- 

 mehr der Bemerkungen wegen, die sich bei der Discussion der Resultate 

 ergaben. 



1. 



Es sind folgende 10 Fälle der Aufgabe möglich. Die gesuchte Kreis- 

 linie kann, 



Erstlich, drei gegebene Kreise berühren sollen. 

 Zweitens. Sie kann zwei gegebene Kreise berühren und durch einen 

 gegebenen Punct gehen sollen. 



