der Aufgabe des Apollonius von der Berührung von Kreisen. 71 



so reduciren sich die drei Formeln (6) auf 



{x'+y* = k 2 . 

 (a—x) 2 +y 2 = (ß t +k) 2 oder a 2 — 2ax+x 2 +y 2 =. ß\+2ß l k+k 2 , 

 {x—p) 2 +{q—y) 2 = (a, +A) a oder 

 x 2 —:px + p 2 +q 2 — 2qy-\-y 2 ■=ci 2 i +2a l k+k 2 ; 



welche nun der einfachem Aufgabe entsprechen, den Kreis zu finden, der 

 zwei gegebene Kreise um A und B berührt und zugleich durch den be- 

 stimmten Punct C geht. 



Setzt man die erste Formel (S) in die beiden andern, und bemerkt, dafs 



9. p 2 +q 2 = b 2 

 ist, so erhält man 



10. a 2 — zax = ß\+zßjk und 



11. b 2 — 2px — 2qy = a 2 + 2ajc. 

 Zwischen (10 und 11) x eliminirt, giebt 



12. a'p — b 2 a + 2aqy = ß\p + 2ß t kp — a 2 a — 2aaJ;, 

 oder auch, aus (10 und 12) folgt 



13. iaqx = + q(a* — ß 2 — zßji) und 



14. 2aqy = —p(a 2 —ß 2 —2ß 1 k) + a(b 2 —a 2 —2a l k). 



Hiervon ist die Summe der Quadrate, da x 2 +y 2 = k 2 (8) und p 2 +q 2 =zb 2 

 (9) ist, 



15. Aa 2 q 2 k 2 = b 2 (a 2 —ß 2 -2ßj;) 2 —2ap(a 2 -ß 2 —2ß l k) (b 2 -a 2 —2a t k) 



+ a 2 (b 2 —a 2 —2ct,ky. 

 Setzt man der Kürze wegen 



a--ß\ = 



(a 2 —ß\=:m 2 

 U 2 — a\ =n 2 , 



16. 



so erhält man 



17. Aa 2 q 2 k 2 = b 2 (7n 2 —2ß l k) — 2ap(7n 2 —2ß l k)(n 2 —2a i k)-i-a 2 (n 2 —2a l k) 2 , 



oder, entwickelt, 



Aa 2 q 2 k 2 = b 2 m*-bb 2 m 2 ß l k + Ab 2 ß 2 k 2 



— 2apm' 1 n 2 +4apm 2 a l k-\-kapn 2 ß l k — sapa t ß t k 2 

 + a 7i — ha n ajc + ha ajc oder 



