der Aufgabe des Apollonius von der Berührung von Kreisen. 73 



= 8p^a^m 2 n 2 



+ 4p 2 a 2 [m\ a . 2 -b 2 ) + n*(ß 2 -a 2 )-2m 2 n 2 a. i ß l ] 



+ 8pam 2 n 2 [— b' 2 ß 2 — a 2 a 2 — m 2 n 2 +a. 2 ß 2 ] 



+ 4[b 2 m*ß 2 (b 2 —a 2 )+a 2 n i a 2 (a 2 —ß 2 ) + m 2 n 2 (m ! 'b 2 -hn' i a 2 )-i-2a 2 b 2 m 2 n 2 ci,iß,] 



o 3 ^ 2 2 



= 8p a m n 



— 4p 2 a 2 [m''n 2 +n''m 2 -i-2m 2 n 2 ct,ß l ] 

 -8pam 2 n 2 [b 2 ß 2 +a 2 a . 2 l -i-a 2 b 2 -a 2 a . 2 -b 2 ß 2 -t- a . 2 ß 2 -<t 2 ß 2 l ] 



+ 4[b 2 m'n 2 ß\ + a 2 n i m 2 x\+m 2 n 2 {m' , b 2 +n' , a 2 )-^2a 2 b 2 m 2 n 2 A l ß l ] 

 = 8p 3 a^m 2 n 2 



— 4p 2 a 2 m 2 n 2 [m 2 +n 2 +2a i ß l ] 



— 8pam 2 n 2 a 2 b 2 



-i-4ni 2 n 2 [b 2 m 2 (ß 2 +m 2 ) + a 2 n 2 (n 2 -i-**) + la 2 b 2 ci, i ß l ] 



= 4m 2 n 2 \;2p 3 a 3 -p 2 a 2 (a 2 -t-b 2 - a , 2 i -ß 2 +2 a . t ß l )-'2paa 2 b 2 -1-a 2 b 2 m 2 -i-a 2 b 2 n 2 



+2a 2 b'a. i ß i ] 

 = 4m 2 n 2 [2p 3 a'-p 2 a 2 (a 2 - i -b 2 -(*-ß i ) 2 )-2paa 2 b 2 +a 2 b 2 (a 2 +b 2 -( c c-ß l ) 2 )] 

 = 4m 2 n 2 [2pa(p 2 a 2 -a 2 b 2 ) + (a 2 -*.b 2 -( a ,-ßf)(a 2 b 2 -p 2 a 2 )} 

 26.= 4m 2 n 2 a 2 (p 2 -b 2 )[2pa-a 2 -b 2 -h( a ,-ß l ) 2 ]. 



Da nun 



27. b 2 -p 2 =q 2 (9), 



auch aus der Figur (a — p)~+(] 2 = c 2 =a 2 — 2ap-\-p 2 -\-b 2 — p 2 , also 



28. 2ap=za 2 +b 2 — c 2 , 



und wenn man den Inhalt des Dreiecks ABC durch A bezeichnet, 



29. 2A = aa 

 ist, so ist die Gröfse unter dem Wurzelzeichen, zufolge (26), 

 = 4m 2 n 2 a 2 <i 2 [a 2 -hb 2 -(a. i -ß l ) 2 -a 2 -b 2 +c 2 ] 

 = 16 A 2 m 2 n 2 (c 2 — (*, — (S,) 2 ) 

 = lG& 2 (a 2 -ß 2 )(b 2 - a . 2 )(c 2 -(* t -ß,) 2 ) 

 30. = 18A*( i a + ß l )<a-ß l )(b + * l )(b-a. t )(c-t-«,-ß l )<c-« l +ß l ) SB 4B t +AC. 

 Ferner ist der Nenner A von k (25), der zufolge (21 und 18) 

 31. A = Aa z q 2 —b(b 2 ß 2 —2apctß t +a 2 a 2 ) 

 ist, gemäfs (29 und 28), 



A = i6A 2 -4(S 2 /3 2 +aX-(a 2 +6 2 — c 2 )aß x ) oder 

 Physik. -math. KL 1841. K 



