der Aufgabe des Apollonius von der Berührung von Kreisen. 77 



Es ist nemlich 

 (a— ß)(a — y)(2a+ß+y) = 2a 3 — a 2 y — a 2 ß — aß 2 — ay 2 +ß 2 y+ßy 2 , 

 l(ß-y)(ß-a)(2ß + y + a) = 2ß'-ß 2 a-ß 2 y-ßy 2 -ßa 2 +y 2 a + ya 2 , 

 (y — a)(y—ß)(2y+a + ß) = 2y 3 —y 2 ß — y 2 a — ya 2 —yß 2 +a 2 ß + aß 2 . 



Multiplicirt man dieses der Reihe nach mit a 2 , b 2 und c 2 , so erhält man 



2aV-H2& 2 /3 3 +2cV 

 (-a 2 +b 2 -c 2 )(« 2 y + ay 2 ) 

 (— a 2 -b 2 +c 2 )(a 2 ß + aß 2 ) 

 ( + a 2 -b 2 -c 2 )(ß 2 y+ßy 2 y, 



also ist in dem Zähler von (40) die Gröfse aufserhalb des Wurzelzeichens 



r ( a 2 -b 2 -c 2 )(a 2 a + ßy(ß+y)) + 2a 2 a 3 

 45. ) + (b 2 —c 2 —a 2 )(b 2 ß + ay(a+y)) + 2b 2 ß 3 

 [+ (c 2 — a 2 — b 2 ) (c 2 y +aß(a +ß)) + 2c 2 y\ 



Desgleichen ist 



(a—ß)(a — y) = a 2 — ay — ßa-t-ßy, 

 (ß-y)(ß-ct) = ß 2 -ßa-yß + ya, 

 («y — a) (y — ß) = y 2 — yß — ay + aß; 



also ist im Nenner von (40) die von 16A 2 abzuziehende Gröfse 



46. h V+ b 2 ß 2 + c 2 y 2 + (a 2 - b 2 - c 2 )ßy+ (b 2 — c 2 - a 2 ) ay + (c 2 — a 2 — b 2 ) aß] ; 



folglich läfst sich >c, auch wie folgt ausdrücken : 



(a 2 -b 2 -c 2 )(a 2 a+ßy{ß+y)) + {b 2 -c 2 -a 2 )(b 2 ß+ya(y+a)) 



+ (c*-a*—b s ) (c 2 y+aß(a+ß)) 

 ±4A>'[(a 2 -(/3— v) 2 )(5 2 — (7— a) 2 )(c 2 — (a-/G) 2 )] + 2aV+2Ä 2 /3 3 +2cV 



16A 2 — i i (a 2 a 2 +b 2 ß 2 +c 2 y 2 +{a 2 — b 2 — c 2 )ßy+{b 2 -c 2 — a 2 )ya 



+ ( c *—a 2 —b 2 )aß) 



47 



l 



10. 



Die Ausdrücke des Halbmessers k, des drei gegebene Kreise berüh- 

 renden Kreises (40 und 47) geben nun zwei verschiedene Werthe von 

 K t , während dieser Halbmesser, wenn der Kreis die drei gegebenen auf eine 



