der Aufgabe des Apollonius von der Berührung von Kreisen. 79 



von — «,. Die beiden Gruppen von Formeln (48 und 49) können daher zu- 

 sammen nicht vier verschiedene Werthe für die gesuchte Gröfse, sondern 

 nur dieselben zwei Werthe von k, und k 2 geben; nemlich die Gleichun- 

 gen (48) müssen k, und — k 2 und die Gleichungen (49) x 2 und — x, geben. 

 Die beiden Werthe von k,, welche (47) giebt, sind also nothwendig der 

 Halbmesser J\I A = M B = 71/ C = x des Kreises um 717, welcher die drei 



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gegebenen Kreise um^, B, C innerhalb, in A,, B t , C t berührt, und 

 der Halbmesser M 2 A 2 = J\I 2 B 2 = M 2 C 2 = x„ des Kreises um 3I„, welcher 

 die drei gegebenen Kreise um A, B, C aufserhalb, in A 2 , B 2 , C 2 be- 

 rührt, diesen letzteren mit entgegengesetztem Zeichen genommen. 

 Eben so würden die beiden Werthe von k 2 , welche das Resultat der Ent- 

 wickelung von k 2 aus den Gleichungen (49) ausdrücken mufs, der Halb- 

 messer 3I 2 A 2 — M 2 B 2 = M 2 C 2 — k 2 des Kreises um M 2 sein, welcher die 

 drei gegebenen Kreise um A, B, C aufserhalb, in A 2 , B 2 , C 2 berührt, 

 und der Halbmesser M i A l = M t B, = Ü/,C, = y. t des Kreises um 71/,, 

 welcher die drei gegebenen Kreise um A, B, C innerhalb, in A n B t , C t 

 berührt, diesen letzteren Halbmesser mit entgegengesetztem Zeichen 

 genommen. 



Von den vier Werlhen des Ausdrucks ■von x, (47) und desjenigen von 

 k 2 , die die Entwickelnng aus den Formeln (49) geben würde, müssen daher 

 nothwendig zwei und zwei, bis auf das Zeichen, identisch einander gleich 

 sein. Dieses ist auch in der That der Fall. Den Unterschied zwischen den 

 Gleichungen (49 und 48) kann man nemlich auch als darin bestehend be- 

 trachten, dafs in (49) — a, — ß, — y an der Stelle der Gröfsen -f- a, -t-ß, 

 4-<y in (48) stehen. Man mufs daher aus (49), auch ohne neue Entwicke- 

 lung, die Werthe von k 2 unmittelbar aus dem Ausdrucke (47) von k, finden, 

 welchen (48) giebt, wenn man in diesem Ausdrucke — a, — ß, — «y statt 

 -t- a, -4-/3, +y schreibt. 



Bezeichnet man nun der Kürze wegen 



(a 2 -b 2 -c°~) (a 2 a + ßy(ß +v)) + (b°--c"--a*) (6 2 /3 + ya(y + a)) 

 .{cr—a 2 — b 2 ) (c 2 y+aß (a+ß)) -*- 2aV-f-2Ä 2 /3 5 +2cV durch + M, 

 50. { JiAV[(a 2 -(ß- y y)(b 2 -(y-a) 2 )(c 2 -(a-ß) 2 )] durch ]/P und 

 i6± 2 -A(a 2 a 2 +b 2 ß 2 +c 2 y 2 +(a 2 -b 2 -c 2 )ßy-i-(b 2 -c 2 —a 2 )yu 



+ (c 2 — a 2 —b 2 )aß) durch N, 



