der Aufgabe des Apollonius von der Berührung von Kreisen. 83 



Ist also : 



A. Nicht zugleich noch eine der andern beiden Gröfsen v 2 und <r 2 gröfser 

 als die correspondirenden b 2 und c 2 , so sind alle vier P negativ, und 

 es findet folglich kein berührender Kreis Statt. 



B. Ist dagegen noch eine der beiden Gröfsen v 2 und <r 2 gröfser als die 

 correspondirende b 2 oder c 2 , z.B. v 2 >6% so sind P 2 und P 4 positiv, 

 und folglich giebt es 4 berührende Kreise. 



C. Sind beide Gröfsen v 2 und er 2 gröfser als die correspondirenden b 2 

 und c 2 , so ist kein P positiv, und folglich giebt es keinen berühren- 

 den Kreis. 



Drittens. Es seien zwei von den drei Gröfsen m 2 , n 2 und s 2 

 gröfser als die beiden correspondirenden aus den 

 dreien a 2 , b 2 und c 2 , z.B. m 2 >a 2 und n 2 >b 2 . 

 Alsdann ist zunächst um so mehr ju 2 >a 2 und v 2 >b 2 . 

 Ist also : 



A. Nicht zugleich noch die dritte der Gröfsen <r 2 > c 2 , so sind alle vier P 

 positiv, und es giebt 8 berührende Kreise. 



B. Ist dagegen zugleich auch cr 2 >c 2 , so sind nur P l und P 2 positiv, und 

 es giebt nur 4 berührende Kreise. 



Viertens. Es seien endlich alle drei Gröfsen m 2 , n 2 und s 2 

 gröfser als die correspondirenden a 2 , b 2 und c 2 . 

 Alsdann ist um so mehr fx 2 >a 2 , v 2 >b 2 und <7 2 >c 2 . 

 Also sind alsdann alle vier P negativ, und folglich giebt es keinen be- 

 rührenden Kreis. 



Es giebt daher immer nur 8, oder 4, oder keine berührende Kreise; 

 niemals 2 oder 6. 



Dafs übrigens die vorausgesetzten Fälle alle möglich sind, ist leicht 

 an einem Zahlen -Beispiel zu zeigen. Es sei z.B. 



'a = 3, 



64. ■ ß = s, 



.7 =17; 



so ist 



f(/3_ 7 ) 2 = m 2 = 9 2 , 



65. \(y — a.y = n 2 = i4% 



\(a-ßy=s 2 = 5 2 , 



L2 



