der Aufgabe des Apollonius von der Berührimg von Kreisen. 87 



+ y und + ß setzt. Das Gleiche mufs nemlich in den Formeln (78 und 79) 

 geschehen, aus welchen jt, gefunden wurde; denn diese Formeln heifsen 

 jetzt, weil hier x = PA„, k 3 = M 2 A 2 = M 2 B 2 = M 2 C 2 und BB 2 = ß, 

 CC, = y ist, 



ss. x *+(b-K 2 y = (K-ßy-, 



89. ( a -jcy+(c-K 2 y = (K-y)\ 



welche von denen (78 und 79) in nichts weiter verschieden sind, als dafs 

 sich — ß und — y statt +ß und -f- y finden. Der Ausdruck des Halb- 

 messers des Kreises um M a , der, nächst der gegebenen geraden Linie, 

 die beiden gegebenen Kreise aufserhalb oder mit seiner convexen 

 Krümmung berührt, ist also 



(b-c-ß + y)(y°- -c- -ß 2 +b 2 ) + a-(b-ß + c-y) 



± 2a\'[{b-ß) (c-y) (a-+{b-cy - (y-ß) 2 )] 



yO. k 2 = . 



2(c — b — y + ß) z 



Ahnlich verhält es sich, wenn man den Kreis sucht, der, nächst 

 der gegebenen geraden Linie, den einen der gegebenen Kreise mit seiner 

 convexen, den andern mit seiner concaven Krümmung berührt. Man 

 darf nur in (87) — ß statt + ß setzen, wenn es der Kreis um B ist, den 

 der gesuchte Kreis mit seiner concaven Krümmung berühren soll, und 

 — y statt -f- y, wenn es der Kreis um C ist. Man findet also für jenen 

 und diesen Fall: 



{ 



{ 



(b — c—ß — y)(y"-—c"—ß*+b°-) + a-(b + c — ß + y) 



± 2 aV[(b-ß)(c+y)(a 2 +(b+cy-(ß+yy-)] 



Vi. K = UUC 



2(e — b+y+ß) 2 



f(b-c+ß+y)(y 2 -c 2 -ß 2 +b 2 ) + a 2 (b + c+ß-y) 

 ± 2 aV[(b + ß)(c-y)(a 2 +(b-c) 2 -(ß + y) 2 )] 



92. k = 



2(c-b-y-ßy 



15. 



Die Formeln (87. 90. 91 und 92) geben jede zwei verschiedene 

 Werthe für die Halbmesser k; und in der That ist jede Art der Berüh- 

 rung der gegebenen Kreise und der gegebenen geraden Linie zweifach 



