der Aufgabe des Apollonius von der Berührung von Kreisen . 93 



20. 



Verlangt man den Kreis, der, nächst den beiden gegebenen geraden 

 Linien, den gegebenen Kreis mit seiner coucaven Krümmung berührt, so 

 ist wieder, wie in der Figur leicht zu sehen, blofs — a statt + azu setzen. 

 Der Halbmesser dieses Kreises ist also : 



122. k 2 =- r-r mc-n6-(m-n)a 



(c — 6) 



±V(c — a)V((m—n)\c — a) — 2n(c — b)(m — n) — (c — b)' ! (c+a))]. 



21. 



Die Ausdrücke (111 und 122) geben jeder zwei verschiedene 

 Werthe von x. In der That kann auch, wie die Figur zeigt, der gegebene 

 Kreis, nächst den beiden gegebenen geraden Linien, sowohl von der con- 

 vexen, als von der concaven Krümmung zweier verschiedenen Kreise be- 

 rührt werden. 



So wie die Gröfse unter dem Wurzelzeichen negativ wird, ist x imagi- 

 nair und es findet also dann keine Berührung Statt. 



22. 



In dem Falle c = b, wo auch m = n ist, geben die Ausdrücke (111 

 und 112) die Werthe von x nicht, sondern lassen sie unbestimmt. In der 

 That sind auch alsdann die beiden Gleichungen (104 und 105), aus welchen 

 x gefunden wurde, nur eine einzige, und diese eine Gleichung kann nicht x 

 und x beide geben. Es kommt aber dann zu der Gleichung 



123. (n—r) 2 +(c-x) 2 =(a+>c) 2 (104) 



noch aus der Figur die Gleichung 



124. — = - 

 n c 



hinzu. Setzt man aus derselben die Werthe von x in (123), so erhält man 



2 



(n ^\ +{c — xY = (a + x)" oder 



rc 2 (c — x) 2 +c 2 (c — x)* = (a+x) 2 c 2 oder 



