der Aufgabe des Apollonius von der' Berührung von Kreisen. 97 



Dieser bekannte Ausdruck giebt für den Halbmesser k, zwei Werthe, 

 zwar an Gröfse gleich, aber an Zeichen verschieden, und da es nun offen- 

 bar nur einen Kreis giebt, der die drei geraden Linten AB, BC und CA 

 Ton innen berührt, und sein Halbmesser nur positiv sein kann, weil a, b 

 und c und der Inhalt des Dreiecks positiv genommen werden, so läfst sich 

 fragen, was der negative Werth von k, bedeute. 



Die Gröfse unter dem Wurzelzeichen in dem Ausdrucke von k, (138) 

 bleibt identisch dieselbe, wenn man die Seiten des Dreiecks a, b und c 

 alle drei negativ oder mit entgegengesetzten Zeichen nimmt; denn Zähler 

 und Nenner des Bruchs werden dann beide negativ. Also mufs der Aus- 

 druck von x, (138) eben sowohl von dem Kreise, der die negativen Sei- 

 ten, als von demjenigen, der die positiven Seiten berührt, den Halbmesser 

 geben. Nimmt man nun aber die Seiten negativ, so geht BC in BC t = — BC, 

 BA in BA X = — BA und CA in C t A t = — CA über. Dafs ersteres beides 



der Fall sei, ist offenbar; dafs letzteres der Fall sei, folgt daraus, dafs z. B. 

 AB Ali 



a-c=Xc; undalso 



^■ = > 



ist, welches für A i C i eine negative Gröfse giebt, da AC und AB beide 

 positiv sind, A t B aber negativ ist. Es ist also, wenn man die Seiten a, b, c 

 des Dreiecks ABC alle drei negativ nimmt, das Dreieck A,BC t entstanden, 

 und für den Kreis um 31', der die drei negativen Linien A t B, BC t und 

 C,A t von innen berührt, mufs der Ausdruck (138) den Halbmesser 31' K 

 ebenfalls geben. Er ist dem Halbmesser 31 % K S an Gröfse gleich, aber ne- 

 gativ; denn wenn man die drei Linien a, b und c in gleichem Yerhältnifs zu 

 einander abnehmen, durch o gehen und bis zu — a, — b, — c gelangen läfst, 

 so nimmt auch k, in gleichem Verhältnifs ab, geht durch o und gelangt bis 

 zu K 31' = — K t M t . 



Der negative Werth von k ( , den der Ausdruck (138) giebt, bedeutet 

 also wesentlich den Halbmesser 31' K des Dreiecks A t BC t , oder auch, 

 auf ähnliche Weise, die Halbmesser der beiden Dreicke AB 2 C 2 und CB 3 A 5 , 

 die dem Dreiecke ABC gleich, aber negativ sind. 



Ahnlich verhält es sich auch, im Vorbeigehen bemerkt, mit dem nega- 

 tiven Werthe des Inhalts A des Dreiecks ABC, den (136) giebt. Die 

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