Bemerkungen über die Methode der Maxima und Minima. 107 



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Methode von Cartesius, was die Notwendigkeit der betreffenden Bedin- 

 gung anbelangt, für alle algebraischen, sowohl irrationalen, als rationalen 

 Funktionen gültig ist, und daher einen wesentlichen Fortschritt in der Lö- 

 sung des in Rede stehenden Problems bildet. Es ist dies hier um so mehr 

 ausdrücklich zu bemerken, als man nicht ungeneigt gewesen zu sein scheint, 

 der Fermatschen Methode vor der des Cartesius den Vorzug einzuräu- 

 men. Nur hat diese die Unvollkommenheit mit jener gemein, dafs die so 

 gewonnene Endgleichung, wenn gleich stets nothwendig, dennoch nicht hin- 

 reichend ist. 



Sowohl die eine, als die andre dieser beiden Biethoden war in Bezug 

 auf die Anwendung der Vereinfachung fähig ; und es war gerade dieser Punkt, 

 auf welchen die beiden Niederländer Hudde und Huygens ihre Bestre- 

 bungen richteten. — Wie schon bemerkt, war durch Cartesius die Lösung 

 der in Rede stehenden Aufgabe auf die Ermittelung einer Gleichung mit 

 zwei gleichen Wurzeln zurückgebracht worden. Cartesius leistete diese 

 Bestimmung durch die so genannte Methode der unbestimmten Coefficien- 

 ten: eine Methode, welche leicht zu grofsen Weitläuftigkeiten führte. 

 Hudde erwarb sich das Verdienst, die Anwendung dieser Methode völlig 

 entbehrlich zu machen, indem er zeigte, dafs, wenn eine Gleichung mit n 

 gleichen Wurzeln, unter gewissen näher bestimmten Bedingungen, in eine 

 arithmetische Progression multiplicirt wird, alsdann stets eine Gleichung ent- 

 steht, die (n — 1) von jenen n gleichen Wurzeln enthält. — Es ist demnach 

 ein Irrthum, wenn Hudde die Erfindung einer eigenthümlichen Methode 

 für die Bestimmung der Maxima und Minima zugeschrieben, oder wenn be- 

 hauptet wird, dafs die Gültigkeit von dessen Methode auf die rationalen 

 Funktionen beschränkt sei. In logischer Beziehung ist Hudde's Methode 

 mit der des Cartesius völlig einerlei, und daher auf alle algebraischen 

 Funktionen anwendbar. Nur scheint Hudde das nicht unwesentliche Ver- 

 dienst zu gebühren, allererst das Unzureichende der so gewonnenen Glei- 

 chung erkannt und zur Sprache gebracht zu haben. 



Wie schon oben bemerkt, war von der Fermatschen Regel kein Be- 

 weis gegeben worden. Huygens war es, welcher deshalb sowohl eine Ver- 

 mittelung, als eine Vereinfachung dieser Methode versuchte. Der erste 

 Punkt inislang; indem die Argumentation, welche man in dieser Beziehung 

 aufgeführt findet, der mathematischen Schärfe entbehrt. Glücklicher war 



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