Bemerkungen übe?' die Methode der Maxima und Minima. 109 



andern Seite betrachtet, nicht geläugnet werden kann, dafs sie bereits für ir- 

 rationale Funktionen aufhören, dieser Anforderung zu entsprechen. — 



Es war L'Hopital, der das Mangelhafte dieser Methode erkannte 

 und zu ergänzen sich bestrebte. Die Sätze, welche seinen Betrachtungen 

 zur Grundlage dienen, sind die beiden folgenden : 



1) Das Differenzial einer continuirlichen Funktion mufs für denjenigen 

 besonderen Werth der ursprünglichen Veränderlichen, für welchen 

 der entsprechende besondere Werth der Funktion ein Maximum, oder 

 ein Minimum bildet, entweder vom Positiven ins Negative, oder vom 

 Negativen ins Positive übergehen. 



2) Jede continuirlich zu- oder abnehmende Funktion kann nicht vom 

 Positiven ins Negative übergehen, ohne Null, oder Unendlich zu wer- 

 den : Null namentlich, wenn sie Anfangs abnehmend, unendlich aber, 

 wenn sie Anfangs zunehmend fortgeht. 



Der Satz nun, welchen L'Hopital als eine nothwendige Folge der 

 beiden vorhergehenden aufstellte, lautet : 



Für den Fall, wo der besondere Werth einer Funktion ein Maximum, 

 oder ein Minimum bildet, mufs der besondere Werth des Differen- 

 zials derselben entweder Null, oder unendlich sein. 

 Gegen den ersten dieser Sätze fällt nichts einzuwenden. Was aber 

 den zweiten betrifft, so wurde von L'Hopital selbst eingeräumt, dafs der- 

 selbe bezweifelt werden könne, und der Versuch gemacht, ihn durch eine 

 Construction zu verdeutlichen. Es ist aber leicht einzusehen, dafs sich durch 

 die Nachweisung einzelner entsprechender geometrischer Fälle wohl die Mög- 

 lichkeit, keinesweges aber die Nothwendigkeit des Satzes (die auch nicht 

 statt findet) darthun läfst. — Was endlich den Schlufssatz anbelangt, so darf 

 nicht unbemerkt gelassen werden, dafs derselbe hier nur in sofern als voll- 

 ständig vermittelt angesehen werden kann, als zugleich der Satz feststeht, 

 dafs das Differenzial einer continuirlichen Funktion continuirlich entweder 

 zu- oder abnehmend sei: was aber keinesweges der Fall ist. 



Wenn gleich also L'Hopital die Lösung der in Rede stehenden Auf- 

 gabe zu keiner vollständigen Erledigung brachte ; so darf doch nicht geläug- 

 net werden, dafs er sie um einen grofsen Schritt weiter führte, indem er 

 zeigte, dafs im Falle eines Maximums, oder eines Minimums einer Funktion 

 das Differenzial derselben auch unendlich -werdend sein kann. Erst hier- 



