Bemerkungen über die Methode der Maxima und Minima. 111 



Hr. Lacroix das, bereits von L'Hopital ermittelte, Ergebnifs auf eine 

 selbstständige Weise begründet bat. 



Herrn Cauchy gebübrt das Verdienst, die Aufgabe der Maxima und 

 Minima in völlig strenger Allgemeinheit aufgefafst und betrachtet zu haben. 

 Zunächst (vid. Lecons sur le calcul dijfcrentiel, p.60) wird erwiesen, dafs, 

 wenny(.r) und ^~ =f'(x) beide continuirlich sind in der Nähe eines be- 

 sondern Werthes x von x, eben diesem besondern Werthe x a alsdann nur 

 in so fern ein Maximum, oder ein Minimum vony(.r) entsprechen kann, als 

 man hat 



Und dies vorausgesetzt, wird für die Lösung der Aufgabe selbst, in so fern 

 sie die Funktion von Einer ursprünglichen Veränderlichen betrifft, die fol- 

 gende Vorschrift, jedoch ohne fernem Beweis, aufgestellt : 



„Es seiy(a-) die gegebene Funktion. Zunächst suche man diejenigen 

 besondern Werthe von x, für welche f(x) discontinuirlich werde. Ei- 

 nem jeden dieser besondern Werthe, in so fern deren stattfinden, wird 

 ein besonderer Werth der Funktion entsprechen, der gewöhnlich (ordi- 

 nairement) entweder unendlich, oder ein Maximum, oder ein Minimum 

 sein wird." 



„Zweitens suche man die Wurzeln der Gleichung 



f(x) = o 



nebst denjenigen besondern Werthen von x, für welchey"'(,r) disconti- 

 nuirlich werde, und unter denen diejenigen die erste Stelle einnehmen, 

 welche durch die Gleichung 



f'(x) = ± oo oder — ^- = o 



bestimmt werden. Es sei x eine von diesen Wurzeln oder einer von 

 diesen Werthen. Der entsprechende besondere Werth der Funktion, 

 f'(x ), wird ein Maximum sein, wenn in der Nähe des besonderen Wer- 

 thes x von x, die Funktion f'(x) positiv für x < x und negativ für 

 x > x ist. Dagegen wird/~(.r ) ein Minimum sein, wenn/^a-) negativ 

 für x < x und positiv für x > x ist. Endlich: ist in der Nähe des Wer- 

 thes x von x, f'(x) beständig positiv, oder beständig negativ; so ist 

 f(x ) weder ein Maximum, noch ein Minimum." 



