Bemerkungen über die Methode der Maxima und Minima. 125 



Beweis. In Folge der Voraus. (19) ist 



(20) "'qS'I^^SL^v-, 



daher, vermöge der Vorauss. (18), und, weil k' und k", mithin auch -^ an- 

 gebbar, wie auch n positiv und ganz, 



(21) "Gr <?, -f+4^- = |. 



^ / f(6—w)—f(b) k 



Da ferneres + cd) reell bleibend innerhalb der Grenzen o und £ für 

 u (Vorauss.), — angebbar ist und die Gleichheit (21) statt hat (Erwies.): so 

 ist, nach Erkl. 7) und Lehrs. 6, 



k' 



f(b) ein Maximum, oder ein Minimum vony(6 + oi), wenn — 7 positiv, — 

 und, nach Erkl. 7) und Lehrs. 6, Zus., 

 f(b) weder ein Maximum, noch ein Minimum von f(b 4- cd), wenn -^ 



nicht positiv ist. 



Lehrsatz 11. Sind k' und k" beziehungsweise angebbar, ist -p po- 

 sitiv, n positiv und ganz und f(b ■+■ cd) reell bleibend innerhalb der Grenzen 

 o und + £ für cd, wo e entweder von der Form p, oder von der Form qi; fin- 

 den endlich die Gleichheiten (18) und (19) statt: so ist 

 f(b) ein Maximum \onf(b ■+■ cd), wenn k' negativ und £ 2 " positiv, — oder, 



wenn k' positiv und e 2 " negativ ist; 

 — ein Minimum von f(b -+- cd), wenn k' positiv und s s " positiv, — oder, 



wenn kf negativ und e"" negativ ist. 



Beweis. Aus der Voraussetzung (19) folgt zunächst, wie oben, die 

 Gleichheit (20). 



■tt 



Ist nun erstlich k' negativ, so ist auch, weil —7- positiv ist (Vorauss.), 

 k" negativ. Aus (18) und (20) folgt alsdann, weil f(b + cd), mithin auch 

 f(t> — w),f(b ■+■ cd) — f(b) und f(b — cd) — f(b) reell bleibend sind innerhalb 

 der Grenzen o und + e für cd, wie auch s entweder von der Form p, oder 

 von der Form qi ist (Vorauss.), 



f( b + M )-f(b) /(& _„,,)-/(&) 



oü 2 " ' c 2 " 



beziehnngsweise angebbar und negativ innerhalb der Grenzen e' und o für cd, 

 wo e zwischen o und £ enthalten ist. Mithin sind, innerhalb derselben Gren- 



