Untersuchungen über die Theorie der complexcn Zahlen. 143 



Auch läfst sich allgemein bestimmen, wie viel Glieder es in einem 

 solchen Systeme giebt, die mit m keinen gemeinschaftlichen Faktor haben. 

 Setzt man nämlich 



(1) m = ra"b ß c y ... 



wo a, b, c... Primzahlen bedeuten, von denen keine der andern gleich ist 

 noch mit ihr zusammengehört, und setzt ferner 



N(a) = A, N(b) = B, JY(c) = C,... 



so wird die verlangte Anzahl \^(m) durch die Gleichung 



■4y(m) = (A — i)A"-' .(B — i)B & -' .(C - i)C y ~ l ... 

 gegeben. 



Sind 



(2) M, f*'> p"+— 



die Glieder, deren Anzahl so eben bestimmt wurde, und bezeichnet l eine 



Zahl die mit m keinen gemeinschaftlichen Faktor hat, so beweist man leicht, 



dafs die Zahlen 



Zju, li*', Zju",... 



wenn man von ihrer Ordnung absieht, mit den Zahlen (2) nach dem Modul 

 m congruent sind, und hieraus schliefst man sogleich wie in dem bekannten 

 Beweise des Fermatschen Satzes für reelle Zahlen, dafs immer 



(3) /^ ,m) = l(mod. m). 



Wie man in der gewöhnlichen Zahlentheorie die positiven Zahlen als die 

 ursprünglichen und die negativen als durch Multiplikation mit dem Faktor 

 — i aus diesen entstanden zu betrachten pflegt, so gewährt es für manche auf 

 complexe Zahlen bezügliche Betrachtungen eine wesentliche Erleichterung, 

 wenn man unter je vier zusammengehörigen Zahlen eine nach einem festen 

 Principe gewählte als die ursprüngliche oder primäre und die übrigen als 

 die Produkte dieser in — l, + i ansieht. Das Bedürfnifs einer solchen 

 Unterscheidung ist besonders bei der Betrachtung ungerader Zahlen fühlbar, 

 und man hat bei der zu treffenden Wahl besonders darauf zu sehen, dafs, 

 wie das Produkt von positiven Faktoren selbst wieder positiv ist, so auch hier 

 aus der Multiplikation primärer Faktoren wieder eine primäre Zahl hervor- 

 gehe. Wie leicht zu sehen, findet sich in jeder Gruppe zusammengehöriger 



