Untersuchungen über die Theorie der complexen Zahlen. 145 



sind. Da r''= (mod. k), so wird also e immer ein Theiler von ^(k) sein. 

 In dem speciellen Falle wo ^(k) = e ist, bilden die Potenzen 



ein System wie wir es im vorigen §. betrachtet haben, d. h. welches ein Glied 

 aber auch nur eines enthält, welches mit einer beliebigen Zahl, die mit k 

 keinen gemeinschaftlichen Faktor hat, nach dem Modul k congruent ist, und 

 / heifst dann eine primitive Wurzel von k. Kennt man den Exponenten e, 

 wozu l gehört, so kann man leicht den Exponenten bestimmen, wozu irgend 

 eine Potenz V von / gehört. Man sieht ohne Schwierigkeit, dafs dieser letz- 

 tere —■ ist, wenn £ den gröfsten gemeinschaftlichen (positiven) Theiler von 

 s und e bezeichnet. 



I. Wir betrachten zuerst den Fall, wo der Modul eine Potenz (a -+• bi)' 

 einer ungeraden zweigliedrigen Primzahl a + bi ist, so dafs also N(a -f- bi) 

 = a 2 + b 2 = p eine reelle Primzahl 4ju + l ist. Für diesen Fall ist es leicht, 

 die Existenz einer primitiven Wurzel zu zeigen. Ist die reelle Zahl a eine 

 primitive Wurzel für den Modul p{ so wird sie es auch in Bezug auf den Mo- 

 dul (a -h bi) f sein. Da nämlich nach der ausgesprochenen Voraussetzung 



i, a, a ,...,a 



nach dem Modul p f incongruent sind, so haben sie dieselbe Eigenschaft für 

 den Modul (a+bi){ und andrerseits ist 4 / (( a -+- &Y ) = (p — 1 )/° / ~ ' • Hat man 

 eine solche primitive Wurzel a gewählt, so soll der Exponent «,<(p — i)p f ~\ 

 für den 



«""= n(mod.(a-hbi) f ), 



der Index der beliebigen nicht durch a ■+■ bi theilbaren Zahl n heifsen. Es 

 folgt unmittelbar aus dieser Definition, dafs man den Index eines Produktes 

 erhält, wenn man von der Summe der Indices der Faktoren das gröfste darin 

 enthaltene Vielfache von (p — i)// _I abzieht. 



Die Zahl a ist immer quad. Nichtrest von a •+■ bi, da sonst jedes n 

 quad. Rest von a-\-bi sein müfste. Hieraus folgt sogleich, dafs a, gerade 

 oder ungerade sein wird, je nachdem n quad. Rest oder Nichtrest von a + bi 

 ist. Man hat dabei-, wenn man sich des in der angeführten Abhandlung ein- 

 geführten Zeichens bedient 



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