146 Dirichlet: 



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II. Der jetzt zu behandelnde Fall ist der eines Moduls von der Form r* , 

 wo r eine eingliedrige Primzahl bezeichnet. Da wir r reell und positiv vor- 

 aussetzen können, so ist also r eine Primzahl 4ju-f-a. Zu dieser Untersu- 

 chung ist die Congruenz 



(b + zr) =J + 626 r (mod.r*) 



erforderlich, welche schon in den Disq. arith. art. 86 benutzt worden ist. 

 Es ist zwar dort angenommen worden, dafs b und z reell sind, aber derselbe 

 Beweis ist auch auf den Fall anwendbar, wenn b und z coraplexe Zahlen sind. 

 Die im Exponenten vorkommenden Zahlen e und g > 2, sind, wie sich von 

 selbst versteht, positiv. 



Für den Modul r 5 existirt keine primitive Wurzel, aufser wenn g = l, 

 denn es ist mit Hülfe der obigen Congruenz leicht einzusehen, dafs der höch- 

 ste Exponent, wozu für diesen Modul eine Zahl gehören kann, (r 2 — O^ - ' 

 ist, während -^(r r ) = (r 2 — i)r 2f-2 . Dafs es aber zum Exponenten (r 2 — i)r*"' 

 gehörende Zahlen giebt, kann man, wie folgt, zeigen. Da die aufgestellte 

 Behauptung für g = l schon erwiesen ist, (Theor. res. big. auct. C. F. Gauss 

 art. 53) so sei b eine für den Modul r zum Exponenten r 2 — l gehörige Zahl 

 d. h. eine primitive Wurzel von r. Unter dieser Voraussetzung wird (b+zr)' 

 — l nur dann durch r theilbar sein, wenn e ein Vielfaches von r 2 — l ist. Es 

 folgt hieraus, dafs der Exponent, zu dem b + zr für den Modul r* gehört, 

 durch r 2 — i theilbar sein mufs. Da aber andrerseits auch 



(6 + zr) {r *~ i)rS ~ a i (mod. j* ), 



r 2 — 1 



wie aus obiger Congruenz sogleich folgt, wenn man (b •+■ zr) = l -+■ ur 

 setzt, so sieht man, dafs der erwähnte Exponent ein Theiler von (r 2 — i)t*~ ' 

 sein mufs. Man wird daher eine zum Exponenten (r 2 — i)r*~ ' gehörige Zahl 

 b + zr finden können, wenn sich z so wählen läfst, dafs nicht 



(b + zry ~ ' =i (mod. r* ) ist. 

 Nun ist aber nach obigem Lemma 



