Untersuchungen über die Theorie der complexen Zahlen. 147 



— i+(b+zry ' = — 1 + 6^ ' +(r — i)sft v r* '(mod./*) 



Berücksichtigt man nun, dafs — 1 + i = Br*~', wo J5 eine 



ganze Zahl ist, und setzt zur Abkürzung (r 2 — i)a~ r = C, so ist 



klar, dafs die geforderte Bedingung erfüllt sein wird, sobald z so gewählt 

 wird, dafs die Congruenz Cz -+- B = o (mod. r) nicht Statt finde, was immer 

 geschehen kann, da C kein Vielfaches von r ist. 



Es liefse sich das eben erhaltene Resultat leicht vervollständigen und 

 allgemein bestimmen, wie viel verschiedene d. h. incongruente Zahlen zum 

 Exponenten (r 2 — \)r*~ l oder überhaupt zu irgend einem Divisor desselben 

 gehören. Ist er" ein solcher, wo e in r 2 — 1 aufgeht, und v ^g — 1, so wird 

 die fragliche Anzahl durch den Ausdruck f(e)-d/(r") gegeben, worin <p(e) die 

 Anzahl der Zahlen bezeichnet, welche in der Reihe o, 1, 2,...,e — 1 keinen 

 gemeinschaftlichen Faktor mit e haben. Da aber die Kenntnifs dieser An- 

 zahl zu unserem Zwecke nicht erforderlich ist, so wollen wir uns bei deren 

 Bestimmung nicht aufhalten. Das Einzige, was für das Folgende nöthig ist, 

 betrifft die Form der zum Exponenten r*~' gehörigen Zahlen, welche sehr 

 leicht auszumitteln ist. Wenn c zu dem genannten Exponenten gehört, so 

 dafs also c — 1 durch r* und folglich auch durch r theilbar ist, so wird 

 7^ _1 ein Vielfaches von dem Exponenten sein, zu dem c für den Modul r ge- 

 hört. Da der letztere Exponent aber auch andrerseits ein Theiler von r* — l 

 sein mufs, so hat derselbe den Werth 1, d. h. c ist von der Form l H- zr, und es 

 bleibt nur noch zu untersuchen, welcher Bedingung z unterworfen sein mufs, 

 damit \+zr für den Mod. r* wirklich zum Exponenten r^ -1 gehöre. Zu diesem 

 Zwecke bemerke man, dafs, da nach dem obigen Lemma (l + zr) — l of- 

 fenbar durch r 1 theilbar ist, der Exponent, zu dem l + zr gehört, in r* ~ ' 

 aufgehen und also kein anderer als r^ -1 selbst sein wird, wenn z so beschaf- 



r g- 2 



fen ist, dafs die Congruenz (t + zr) = l (mod. r*) nicht Statt findet. 

 Giebt man dieser mit Hülfe des Lemmas die Form 



zr* -i = o (mod. r*), 



so sieht man, dafs die nöthige und ausreichende Bedingung, damit c zum 

 Exponenten r*~ ' gehöre, darin besteht, dafs c in dem Ausdruck l + zr ent- 

 halten und z kein Vielfaches von r sei. 



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