148 Dirichlet: 



Dies vorausgesetzt, wird es uns leicht sein, nachzuweisen, dafs, wenn 

 b eine gegebene zum Exponenten (r* — i)r* -1 gehörige Zahl ist, immer eine 

 zweite zum Exponenten r s ~ t gehörige Zahl c = 1 + zr von solcher Beschaf- 

 fenheit gefunden werden kann, dafs die Congruenz 



B*s-c y (mod.<7') 



worin ß und y resp. in den Reihen 



o, 1, 2,...,(r 2 —i)r s - , — i; o, i,.. .,/'-*— l 



enthaltene Zahlen bedeuten, nicht anders bestehen kann, als wenn man 

 gleichzeitig ß = o, y = o hat. Wir bemerken zunächst, dafs, da offenbar 

 von den beiden Gleichungen ß = o, y = o, die eine die andere zur Folge 

 hat, wir nur zu zeigen haben, dafs c so gewählt werden kann, dafs die Con- 

 gruenz nicht bestehen kann, wenn ß und y beide von Null verschieden sind. 

 Zweitens ist leicht einzusehen, dafs die Möglichkeit der Congruenz die Theil- 

 barkeit von ß durch r 2 — l voraussetzt. Setzen wir daher ß = (r 2 — i)/3' 

 und ferner b = i + kr, wo k eine gegebene Zahl bedeutet, die nicht 



durch r aufgeht. Unsere Congruenz wird so 



(l + kry= (l + zr) y (mod. t-* ), 



und es ist nur noch übrig z so einzurichten, dafs dieselbe nicht bestehen 

 kann, wenn ß' und y beide in der Reihe l, 2,.. , r e ~ ' — l gewählt werden. Da 

 l 4- kr und l + zr zum Exponenten i s ~ ' und folglich (l + kr)®' und (l -+-zr) y 

 zu den Exponenten r s ~ i ~ x und r ff-I- ' i gehören, wo r* und r" die höchsten 

 in ß' und <y aufgehenden Potenzen von r bedeuten, so erfordert unsere Con- 

 gruenz, dafs man A = \x habe, und wird, wenn man ß' = r x ß" und y = r'V 

 setzt 



(i + krf" r> '= (i + zr) y ' r * (mod. r*). 



Da A ^ g — 2 und diese letztere Congruenz für A<g- — 2 als richtig voraus- 

 gesetzt, auch noch für A = g — 2 bestehen wird, so haben wir blofs zu zei- 

 gen, dafs für ein gehörig gewähltes z die Congruenz 



(i + kr) ß " rS ~ 2 = (i + S7-) 7 ^ _2 (mod. r e ) 

 nicht Statt finden kann. 



