Untersuchungen über die Theorie der complexen Zahlen. 149 



Nach dem obigen Lemma ist diese ganz gleichbedeutend mit (y'z 

 — ß^tyr*'' = o (mod. 7^), oder was dasselbe ist, mit y'z = ß"k (mod.r). Jetzt 

 bemerke man, dafs, da die nicht durch r theilbaren Zahlen 7' und ß" reell 

 sind, man immer eine reelle und offenbar nicht durch r theilbare Zahl £so 

 bestimmen kann, dafs ß"= y'^(raod. r), wodurch die letzte Congruenz in 

 z = kS (mod. r) übergeht. Da £und also auch k& nur r — 1 nach dem Modul 

 /• incongruente Werthe annehmen kann, während für z, welches nur die Be- 

 dingung zu erfüllen hat, nicht durch r theilbar zu sein, r 2 — 1 verschiedene 

 Werthe gewählt werden können, so sieht man, dafs es r" — 1 — (r — 1) 

 = r{r — 1) incongruente Werthe von z von solcher Beschaffenheit giebt, 

 dafs die letzte Congruenz unmöglich wird w. z. b. w. 



Das eben erhaltene Resultat, nach welchem für die auf die angegebene 

 Weise bestimmten und zu den Exponenten (r 2 — 1)7^ _1 und r* - ' gehörigen 

 Basen b und c, die Congruenz 



b' 5 =c v ( mod - ^) 

 in welcher ß und 7 resp. Glieder der Reihen 



0, 1, 2,..,(r 2 — ty-'—i; 0, 1, 2,. .,7*-'— 1, 



bedeuten, nur für den Fall ß = 7 = bestehen kann, läfst sich auf eine et- 

 was verschiedene Weise aussprechen, und man überzeugt sich ohne Schwie- 

 rigkeit, dafs nach demselben der Ausdruck 



bV 



für alle Verbindungen ß, 7, deren Anzahl (r 2 — i)r* -l .r ?-1 = (r 2 — \)r 2s ~ s 

 = -^(r*), lauter nach dem Modul r" incongruente Zahlen darstellt, d.h. je- 

 der nicht durch r theilbaren Zahl n einmal und nur einmal congruent wird. 

 Die Werthe ß, 7, für welche dies geschieht, sollen die Indices von n heifsen 

 und mit ß n , y n bezeichnet werden. Offenbar haben congruente Zahlen die- 

 selben Indices und man sieht leicht, wie die Indices eines Produktes aus de- 



ß V 



nen der Faktoren abzuleiten sind. Da c = 1 (mod. r), so folgt aus b "c 



p 



= n (mod. 7^), sogleich b u " = n (mod. r), und dann, da b offenbar quadrati- 

 scher Nichtrest von r ist, dafs /3„ gerade oder ungerade sein wird, je nach- 

 dem n quad. Rest oder Nichtrest von r ist, oder mit Anwendung des schon 

 oben gebrauchten Zeichens 



