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(6) [y] = (" O* 



III. Es bleibt uns nocb der Fall zu untersuchen, wenn der Modul eine 

 Potenz von 1 + i ist. 



Es seien k und e zwei positive Zahlen, wovon letztere ungerade, und 

 aufserdem t eine beliebige complexe ungerade Zahl. Da 



(i + t(t + iyy = i + «/(i + /)-+... 



wo offenbar alle Glieder vom dritten incl. durch (1 ■+■ i)* +t theilbar sind, so 

 folgt, dafs (1 + /(i + 1)")' die Form 1 + *'(i + /)" haben wird, wo 2' wieder 

 ungerade ist. Ferner ist, wenn man k ^ 3 annimmt, 



(i + t(i + oT = * + '(* + *)" +2 



wo ebenfalls t' ungerade ist. Wenn man diese beiden Resultate mit einander 

 verbindet, so findet man ohne Schwierigkeit, dafs immer unter der Voraus- 

 setzung k % 3, 



(i + *(i + iyf = i + t'(i + iy + * ! 



wo t' wie t ungerade ist und £ den Exponenten der höchsten in & aufgehen- 

 den Potenz von 2 bezeichnet. 



Zu unserem Zwecke reicht es hin, wenn der Exponent der als Modul 

 zu betrachtenden Potenz von l + / ungerade und > 7 ist. Es sei daher der 

 Modul = (l + *) 9 t", so dafs h > 2. Setzt man in dem vorher erhaltenen 

 Resultate n = 3 oder = 4, so sieht man sogleich, dafs l +£(i + /)" für den 

 Modul (l -f- /) 3+ " zum Exponenten 2' gehört. Dies vorausgesetzt, ist es leicht, 

 sich zu überzeugen, dafs die beiden zum Exponenten 2* gehörigen Zahlen 

 i + /(i+0' und 1 + u(i + /)*, in denen t und u ungerade sind, immer die 

 Eigenschaft besitzen, dafs die Congruenz 



(1 + *(i + iff= (1 + «(1 + iyy (mod. (1 + r> 3+2h ), 



wenn man darin unter £und £ aus der Reihe 



zu nehmende Zahlen versteht, nur für den Fall bestehen kann, wo £= e = 

 ist. In der That, da offenbar jede der Voraussetzungen £ = 0, e = 0, die 

 andere zur Folge hat, so haben wir nur noch nachzuweisen, dafs unsere Con- 

 gruenz unmöglich wird, wenn £ und £ beide von der Null verschieden sind. 



