Untersuchungen über die Theorie der complexen Zahlen. 151 



Bezeichnet man mit 2 e und 2' die höchsten in & und e resp. aufgehenden Po- 

 tenzen von 2, wo P<.h, <r<h, so werden die beiden Seiten resp. in den 

 beiden Formen 



! + *(! + *)»+■*, n- w '( 1+ /) 4+2 ' 



enthalten sein, worin t' und u ungerade Zahlen bezeichnen. Setzt man diese 

 Werthe ein, so kommt 



t\i + if +i ? = u'(i + ,+2 '(mod. (1 -t- /) 3+2A ) 



welche Congruenz offenbar unmöglich ist, da die Exponenten 3 + 2£ und 

 ■\ -f- 2<r ungleich und beide kleiner als 3 + 2h sind. 



Setzt man speciell t = i, u = — 1, so kann also die Congruenz 



(_ 1 + 2l y= 5 £ (mod. (1 + 3+ " ) 



nur unter der Voraussetzung Statt finden, dafs man £ = e = habe, oder, 

 was, wie man sich leicht überzeugt, auf dasselbe hinauskommt, der Ausdruck 



(-l+2/)V 



stellt für alle Verbindungen £, e, deren Anzahl offenbar 2 2 * beträgt, lauter 

 nach dem Modul (l+i) 3 "*" 2 * incongruente Zahlen dar. Alle diese Zahlen 

 sind primär, d. h. = 1 (mod. (1 + *)')> da — 1 + 2/ und 5 selbst diese Eigen- 

 schaft besitzen. Erwägt man nun, dafs offenbar für jeden durch (1 + *) 3 

 theilbaren Modul zwei congruente ungerade Zahlen immer gleichzeitig pri- 

 mär oder nicht primär sind, und dafs folglich unser Ausdruck nur primären 

 Zahlen congruent werden kann, und bemerkt man ferner, dafs für den Mo- 

 dul (i + !') 3+! ' wie leicht zu sehen ist, nur -^(C 1 + 3+2 ') = 2 " ungerade 

 primäre Zahlen existiren, die unter einander incongruent sind, so sieht man, 

 dafs der obige Ausdruck jeder ungeraden primären Zahl n einmal und nur ein- 

 mal congruent wird. Die Exponenten £„, e n , für welche dies geschieht, sollen 

 wieder die Indices von n heifsen und es leuchtet ein, dafs man den ersten 

 oder zweiten Index eines Produktes findet, indem man von der Summe der 

 ersten oder zweiten Indices der Faktoren das gröfste darin enthaltene Viel- 

 fache von 2' abzieht. Die Indices £ , e„ besitzen wieder Eigenschaften, 

 welche den am Schlüsse der beiden vorhergehenden Nummern bemerkten 

 analog sind und sich wie diese auf die Theorie der quadratischen Reste be- 

 ziehen. Setzt man 



