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vorausgesetzten Form sein wird. Erwägt man ferner, dafs vier zusammen- 

 gehörige Zahlen immer zugleich Primzahlen sind oder nicht sind, so leuch- 

 tet ein, dafs man / als eine primäre Zahl ansehen kann und dafs daher auch 

 dieser Buchstabe in der ihm unter (11) gegebenen Bedeutung genommen 

 werden kann. 



Dies vorausgesetzt, bilde man unter Beibehaltung aller in §. 2, IV ge- 

 brauchten Bezeichnungen, den Basen (9) der Reihe nach entsprechend die 

 binomischen Gleichungen 



<p K = i, <p = i,... 



(12) } , (r 2 -l)r*-' r*-' . ,(r' 2 - !)rV"' , r V-< 



2 = i, r = «. 



und setze ferner zur Abkürzung 



Das so gebildete Produkt besitzt mehrere sehr leicht zu beweisende 

 und für das folgende wichtige Eigenschaften, welche vor allen Dingen zu be- 

 trachten sind. Denkt man sich zunächst die in Ci enthaltenen Wurzeln der 

 Einheit als constant, so hat man offenbar 



(13) n„ n . = ^A; 

 und wenn «'= n (mod. k) angenommen wird, 



(13') fi„- = <2„, 



Ferner ist immer unter der Voraussetzung, dafs man die in £1 enthaltenen 

 Wurzeln der Einheit nicht ändere, und wenn das Zeichen 2 sich auf alle 

 unter (11) definirten Werthe von l erstreckt, 



(14) SS2, = o, oder 2n, = 4^K&)> 



je nachdem unter den Wurzeln <p, f',...; \^, %, ty, %',•••; $,r, wenigstens 

 eine von der positiven Einheit verschiedene sich befindet oder alle dieser 

 gleich sind. In der That läfst sich unsere Summe, da allen / alle möglichen 

 Systeme (10) entsprechen, leicht in Faktoren zerlegen, von denen jeder nur 

 eine der oben genannten Wurzeln enthält. Derjenige dieser Faktoren, worin 

 <p vorkommt, ist offenbar 



