Untersuchungen über die Theorie der complexen Zahlen. 155 



und folglich = o oder = (p — %)p f ~ '> je nachdem <p von der positiven Ein- 

 heit verschieden oder derselben gleich ist, und da Ahnliches von allen übri- 

 gen gilt, so ist die ausgesprochene Behauptung bewiesen. 



Wenn wir uns jetzt, wie überall im Folgenden, des Zeichens S be- 

 dienen, um eine Summation anzudeuten, welche sich über alle Combinatio- 

 nen der Wurzeln der Gleichungen (12) erstreckt, deren Anzahl offenbar 

 = -^(^O) so bat man endlich 



(15) £"„= -W^)» oder S Ö.= °> 



je nachdem n = l oder nicht = l (mod. Ä) ist. 



Das erste Resultat folgt unmittelbar daraus, dafs für n = l, alle Indi- 

 ces (10) verschwinden. Um sich von der Richtigkeit des zweiten zu über- 

 zeugen, darf man nur bemerken, dafs Ä2„ in Faktoren zerlegt werden kann, 

 von denen jeder nur die Wurzeln einer der Gleichungen (12) enthält und 

 dafs der auf die erste dieser Gleichungen sich beziehende nichts anders ist 

 als die Summe der a,ten Potenzen aller Wurzeln dieser Gleichung. Dieser 

 Faktor wird daher und wegen a„< {p — i)// _ ' immer verschwinden, aufser 

 wenn «„= o ist. Aus diesem und den ähnlichen Resultaten, welche für die 

 übrigen Faktoren gelten, folgt die zweite der Gleichungen (15) sogleich, 

 wenn man berücksichtigt, dafs, wenn n nicht = l (mod. k) ist, wenigstens 

 einer der Indices (10) von Null verschieden sein wird. 



Nach den bisher getroffenen Einleitungen können wir ohne Schwie- 

 rigkeit die Gleichung 



beweisen. In dieser Gleichung bedeutet s eine beliebige positive die Ein- 

 heit übertreffende Gröfse, und was das Multiplicationszeichen n und das Sum- 

 mationszeichen 5 betrifft, so erstreckt sich ersteres über alle primären Prim- 

 zahlen a, welche nicht in Je aufgehen, während letzteres auf alle primären Zah- 

 len n auszudehnen ist, die mit k keinen gemeinsamen Theiler haben. Die 

 in V. eingehenden Wurzeln <p, <*>',... können beliebig gewählt werden, müssen 

 aber in jedem Cl dieselben sein, so dafs also unsere allgemeine Gleichung 

 ~4/(k) besondere, den verschiedenen Wurzelverbindungen entsprechende, 



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