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Gleichungen darstellt. Um sich von der Richtigkeit dieser Gleichung zu 

 überzeugen, entwickle man den allgemeinen Faktor auf der ersten Seite mit 

 Berücksichtigung der Gleichung (13). Man erhält so 



= i + Rt^7 + "„* 7^-^r, +etc. 



Führt man nun die angedeutete Multiplication aus, und erinnert sich, 

 dafs nach (4) jede Zahl n nur auf eine Weise als ein Produkt von Potenzen 

 primärer Primzahlen dargestellt werden kann, so wird die erste Seite unse- 

 rer Gleichung in die zweite übergehen, w. z. b. w. 



§•4. 



Wir müssen jetzt die allgemeine Reihe L (16), welche, wie leicht zu 

 sehen, so lange s > i, einen endlichen von der Art der Aufeinanderfolge ih- 

 rer Glieder unabhängigen Werth hat, näher betrachten und namentlich aus- 

 zumitteln suchen, wie sich dieser Werth ändert, wenn man s = i + £ set- 

 zend, die positive Variable £ unendlich klein werden läfst. Die zu untersu- 

 chende Reihe L zerfällt in -^K^") Partialreihen, von denen jede alle dieje- 

 nigen Glieder enthält, für welche n derselben Zahl £(H) nach dem Modul 

 k congruent ist. Irgend eine solche Partialreihe ist, wenn man von dem al- 

 len ihren Gliedern gemeinsamen Faktor J2, abstrahirt, 



TT=X 



wo sich das Zeichen X auf alle complexen ganzen Zahlen t bezieht. Nun 

 ist in der Abhdl. Recher. sur les form. §. 18, III. gezeigt worden, dafs letztere 

 Reihe für ein unendlich kleines £ dem Ausdruck ^yTrr— gleich wird. Die- 

 ses Resultat läfst sich mit Hülfe der am angeführten Orte entwickelten Be- 

 trachtungen vervollständigen und man beweist leicht, dafs 



wo A eine reelle Constante und F(g) eine reelle Funktion von £ bezeichnet, 

 die sich für ein unendlich klein werdendes £ einer endlichen Grenze nähert. 

 Hieraus folgt sogleich mit Berücksichtigung von (14), dafs 



(17) L = ^&±+F(g) t oder L = A + A'i + ? (*( S ) + &($), 



