Untersuchungen über die Theorie der complexen Zahlen. 157 



je nachdem die in L enthaltenen Wurzeln der Einheit alle der positiven Ein- 

 heit gleich sind, oder wenigstens eine derselben von dieser verschieden ist. 

 A und A' sind reelle Constanten und F(§), $(§), *($) reelle Funktionen 

 von £, die für einen unendlich kleinen Werth der positiven Veränderlichen 

 § sich endlichen Grenzen nähern. 



Die Reihen L zerfallen nach den verschiedenen in ihnen enthaltenen 

 Wurzelcombinationen in folgende drei Klassen. Die erste dieser Klassen 

 besteht aus der einzigen Reihe, in welcher alle Wurzeln der Einheit den 

 Werth 1 haben, und aufweiche sich die erste der Gleichungen (17) bezieht. 

 Die zweite Classe umfafst alle übrigen Reihen, in denen nur reelle Wurzeln 

 vorkommen. Bemerkt man nun, dafs nur in denjenigen der Gleichungen 

 (12), deren Wurzeln mit %, %',.•• bezeichnet sind, die Exponenten unge- 

 rade sind, so sieht man, dafs zur Darstellung aller Reihen der zweiten Klasse 

 die doppelten Zeichen in 



<p=±i, f=±i,...; -J/ = ±\, % = i, ^'=±1, %=i,...; $=±1, >l=±l, 



auf jede mögliche Weise combinirt werden müssen, wobei nur die eine aus 

 allen oberen Zeichen bestehende Verbindung als der ersten Klasse entspre- 

 chend ausgeschlossen bleiben mufs. Die dritte Klasse endlich wird alle 

 Reihen in sich begreifen, in denen wenigstens eine imaginäre Wurzel der 

 Einheit vorkommt, und man sieht ohne Schwierigkeit, dafs die Reihen die- 

 ser Klasse immer paarweise einander zugeordnet sind, indem, unter der aus- 

 gesprochenen Voraussetzung, die beiden Wurzelcombinationen 





<t>, $,— ; v, %, v, %,•••; s, i und -j, 7"--' ;p 7' j?> 7" 



offenbar von einander verschieden sind. Bei diesen Reihen findet der Über- 

 gang von einer derselben zu der ihr zugeordneten Statt, wenn man in der 

 zweiten Gleichung (17) i mit — i vertauscht, während für die Reihen der 

 zweiten Klasse, für welche die erwähnte Gleichung ebenfalls gilt, die in die- 

 ser Gleichung vorkommenden imaginären Glieder verschwinden. 



Wird £ unendlich klein, so wächst der Werth der die erste Klasse L 

 constituirenden Reihe über jede positive Grenze hinaus, während die Wer- 

 the aller übrigen sich endlichen Grenzen nähern, wie aus (17) ersichtlich. 

 Dies ist jedoch zu unserem Zwecke nicht ausreichend und wir müssen nach- 

 weisen, dafs alle diese Grenzen von Null verschieden sind, d.h. dafs in der 



